Контрольні питання.

1. Яке явище називається мультиколінеарністю?

2. В чому полягає суть мультиколінеарності?

3. В чому різниця між повною і неповною мультиколінеарністю?

4. Причини виникнення мультиколінеарності .

5. До яких наслідків призводить мультиколінеарність?

6. На основі яких ознак можна виявити мультиколінеарність?

7. Які статистичні критерії і ідеї покладено в основу тесту Фаррара-Глобера?

8. Наведіть алгоритм тесту Фаррара-Глобера .

9. Які шляхи і методи використовуються з метою усунення мультиколінеарності?

10. Які методи застосовуються для оцінювання параметрів економетричної моделі у випадку мультиколінеарності?

11. Основна ідея і алгоритм методу головних компонент .

Лабораторна робота 13 Визначення автокореляції залишків. Побудова моделі при наявності автокореляції залишків.

Мета: навчитися перевіряти вибірку на автокореляцію за статистичним критерієм знаків та критерієм Дарбіна–Уотсона.

Теоретичні відомості

1. Для перевірки вибірки на автокореляцію за критерієм знаків необхідно:

• знайти параметри моделі та ;

• побудувати регресійну модель ;

– знайти залишки регресійної моделі і записати їх за часовою послідовністю;

• виписати знаки (додатні або від’ємні) залишків;

• порахувати кількість серій з однаковими знаками;

• порахувати кількість додатних залишків;

• порахувати кількість від’ємних залишків;

• за статистичними таблицями знайти верхню та нижню межі для .

Нижня межа розташована у верхній частині таблиці на перехресті рядка та стовпчика . Верхня межа розташована у нижній частині таблиці. Якщо розрахункове значення знаходиться в отриманих межах, автокореляція відсутня (додаток).

2. Для перевірки вибірки на автокореляцію за критерієм Дарбіна–Уотсона розрахуємо статистику d:

.

Для статистики верхня та нижня межі рівня значущості при k незалежних змінних моделі табульовані (додаток).

Цей критерій використовується найчастіше для невеликих вибіркових сукупностей. Його значення лежить у діапазоні від 0 до 4.

Якщо залишки не автокорельовані, а випадкові величини з нормальним розподілом, то значення DW знаходиться біля 2. Якщо DW<2 – то автокореляція додатна, а за умови DW>2 – автокореляція від‘ємна.

Фактичні значення DW порівнюють із табличними (критичними) значеннями при різному числі спостережень n і числі незалежних змінних m для вибраного рівня значущості α.

Для додатної автокореляції:

Якщо DW_факт. < D_l – то залишки автокорельовані.

Якщо DW_факт. > Du – то автокореляція відсутня.

Якщо D_l < DW_факт. < D_u – то не можна зробити висновок про відсутність чи наявність автокореляції залишків.

Для від‘ємної автокореляції:

Якщо DW_факт. > 4- D_l – то залишки автокорельовані.

Якщо DW_факт.< 4- D_u – то автокореляція відсутня.

Якщо 4 - D_u < DW_фак < 4 - D_l – то не можна зробити висновок про відсутність чи наявність автокореляції залишків.

Наприклад, якщо розрахункове значення потрапляє в область 2< <(4– ), можна зробити висновок про відсутність автокореляції.

2. Для перевірки вибірки на автокореляцію за критерієм фон Неймана потрібно обчислити:

, або .

При . Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і заданого числа спостережень. Якщо , то існує додатна автокореляція.

Для оцінювання параметрів економетричної моделі, що має автокореляцію залишків, можна застосувати узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена), або метод перетворення вхідної інформації

При реалізації алгоритму Ейткена для оцінки параметрів моделі застосовують такі п’ять кроків.

Крок 1. Оцінка параметрів моделі за методом 1МНК.

Крок 2. Дослідження залишків на наявність автокореляції.

Крок 3. Формування матриці коваріації залишків V або S.

Крок 4. Обернення матриці V або S.

Крок 5. Оцінка параметрів методом Ейткена, або

— вектор оцінок параметрів економетричної моделі;

— матриця незалежних змінних;

— матриця, транспонована до матриці X;

— матриця, обернена до матриці кореляції залишків;

— матриця, обернена до матриці V, де , а — залишкова дисперсія;

Y — вектор залежних змінних.

Система рівнянь для оцінки параметрів моделі на основі методу Ейткена запишеться так:

або

Звідси:

або

Матриця S має вигляд

У цій симетричній матриці виражає коефіцієнт автокореляції s-го порядку для залишків . Очевидно, що коефіцієнт автокореляції нульового порядку дорівнює 1.

Оскільки коваріація залишків при s > 2 часто наближається до нуля, то матриця, обернена до матриці S, матиме такий вигляд:

,   r _скор

• коефіцієнт кореляції для обчислення : ,r*1-DW/2

• скоригований коефіцієнт кореляції для обчислення : де — величина зміщення (m=1 — кількість незалежних змінних)

Метод перетворення вхідної інформації :

Крок 1. Знаходимо матрицю перетворень Т, розміром (n x n).

. або

Матриця Т₂ розміром (n-1)xn отримується з матриці Т₁ шляхом викреслювання першого рядка, і добуток матриці Т₂ забезпечує достатньо добру апроксимацію

Крок 2. Використовуємо оператор оцінки 1МНК для знаходження оцінок параметрів моделі:

• шукаємо добуток матриць =T₁Y та T₁X

• шукаємо