Н

Андрій МиколайовичКолмогоров читає лекцію

а противагу твердженню про матеріальну природу предмета математики, поширена інша точка зору, репрезентована Н. Бурбакі³ в «Нарисах з історії математики», яка полягає у тому, що математика – це наука про «математичні структури». Б. В. Гнєденко (1912 – 1995), відомий радянський вчений математик, академік АН УРСР, учень А. М. Колмогорова, роз’яснюючи, що під математичною структурою слід розуміти будь-яку множину, між елементами якої встановлене одне або кілька відношень (виділяють структури алгебраїчні, порядку і топологічні), вважає, що, хоч таке означення малює деяку об’єктивну картину того, чим займається математика, оскільки «єдиними об’єктами математики є, власне, те, чим вона займається», однак глибини в ньому нема⁴.

Один із найвідоміших бурбакістів Ж. Дьєдонне категорично відстоюючи точку зору про те, що математика лише на стадії зародження і початкового розвитку живилася потребами практики, а на сучасному етапі – вона є виключно витвором розуму й уяви, писав: «Сучасна математика в своїй основі не має жодної утилітарної мети, а є інтелектуальною дисципліною, практична користь від якої зводиться до нуля. Математика – не більше ніж «розкіш», яку може дозволити собі цивілізація»⁵.

Незважаючи на те, що й справді можна навести чимало прикладів видатних математичних відкриттів і результатів, які не мають ніякого відношення до матеріальної дійсності, погодитися з думкою Ж. Дьєдонне також не можна, бо вона дуже однобічна і занадто категорична. Інтенсивний розвиток прикладної математики це тільки підтверджує.

Неоднозначність розуміння суті математики, розгалуженість її розділів та застосувань дають підстави й для третьої точки зору, яка полягає у тому, що сформулювати означення математики чи вичерпно описати її предмет неможливо.

В. Й. Левицький, видатний український математик (1872 – 1956) писав: «Подати зміст математики – це завдання непосильне; сказати, що це наука про величини та їх взаємні відношення, це буде лише невелика частина, яка не вичерпує її змісту, бо ж до математики, побіч чисел і геометричних величин, побіч величин тяглих і нетяглих (неперервних і дискретних – Авт.), входить і наука про комбінаторику, і про групи, і вищі числа і їх комплекси, і про вищі простори і т.д., до яких назву величини можна прикладати лише з деякими застереженнями» (цитування за статтею В. Г. Бевз «Що таке математика?»⁶).

Володимир Йосипович Левицький (1872 – 1956)

У книзі Волтера Сойєра⁷ «Прелюдія до математики» читаємо: «Математичні відкриття настільки різноманітні, що одного разу хтось, мабуть, у відчаї, запропонував означити математику, як «усе, чим займаються математики». …Математики розв’язують проблеми, які колись не вважалися математичними, і важко передбачити, чим вони ще будуть займатися у майбутньому»⁸.

Р. Курант, німецький і американський математик (1888 – 1972), написавши, разом з Г. Роббінсом, велику книгу «Що таке математика?», згодом зробив такий висновок: «На запитання «Що таке математика?» неможливо дати обґрунтовану відповідь на основі самих лише філософських узагальнень, семантичних означень або за допомогою обтічного газетно-журнального багатослів’я. Так само як не можна дати загальне означення музики чи живопису: ніхто не може оцінити ці види мистецтва, не розуміючи, що таке ритм, гармонія і лад у музиці або форма, колір і композиція у живописі. А для розуміння суті математики ще більшою мірою потрібне справжнє проникнення у її складові елементи» (цитування за статтею В. Г. Бевз «Що таке математика?»⁹).

Обкладинка книги, видання 2010 р., 568 с., переклад А.М. Колмогорова

Безперечно, кожна із трьох наведених точок зору має своє підґрунтя і аргументацію, хоча жодна, взята окремо, не може вважатися абсолютною істиною, і, на наш погляд, тільки їх єдність дає відносно вичерпне та об’єктивне уявлення про сутність математичної науки і цим самим певною мірою відповідає на питання: «Що таке математика?». Важко не погодитися із згадуваними вище Р. Курантом і Г. Роббінсом: «Рух уперед в області математики, безсумнівно, зумовлений потребами, які більшою чи меншою мірою мають практичний характер. Але, раз виникнувши, він неминуче набуває внутрішнього розмаху і виходить за межі безпосередньої практичної корисності»¹⁰.

Вважаємо, що коротко і доступно можна так описати предмет математичної науки.

Математика – це наука, яка формалізованими методами вивчає реальні й абстрактні об’єкти, структури, явища і процеси та взаємозв’язки між ними.

Ознакою будь-якої математичної дисципліни є не матеріальність об’єкта дослідження, а певний формальний метод, який потенційно допускає найрізноманітніші матеріальні втілення і, отже, практичні застосування в різних галузях. Наприклад, диференціальні рівняння придатні для дослідження процесів, у яких величини неперервно змінюються з певною швидкістю, незалежно від того, який цей процес – фізичний, хімічний, біологічний, економічний, соціальний чи ще якийсь інший (про це детальніше йтиметься в 1.3. У чому суть математичного моделювання).

Разом із тим частина математичних задач і результатів не мають, або поки що не мають безпосереднього прикладного застосування, але не слід через це применшувати їх роль. Лише один приклад: здавалося б абсолютна математична абстракція – комплексні числа, що виникли у математиці на початку XVI ст. і вважалися повним безглуздям, породженням «надмірного мудрування» (Д. Кардано¹¹), такими, «практична користь від яких зводиться до нуля», майже через чотири століття прислужилися розвитку гідро- і аеродинаміки, а сьогодні активно «працюють» ще й у електро- і радіотехніці, теорії автоматичного керування, теорії пружності і міцності, геодезії і картографії. Виникнувши з «надмірних мудрувань», як щось неіснуюче і нереальне, до теперішнього часу вивчення комплексних чисел розвинулося у важливий розділ вищої математики, який називається «Комплексний аналіз» і з яким ви познайомитеся на старших курсах.

Прикладами математичних проблем і результатів, які, ймовірно, ніколи не знайдуть свого прикладного застосування і, таким чином, не стануть «продуктивною силою суспільства», не врятують економіку від криз, а людство від екологічних бід, можуть служити відома задача теорії чисел про скінченність (чи нескінченність) множини простих чисел-близнюків¹² або знаменита теорема Ферма¹³, яка збурювала уми математиків-професіоналів і любителів понад 350 років. Подібні задачі, історія їх розв’язань, як і самі розв’язки, хоч і не мають жодного практичного застосування, безперечно займуть довічне і почесне місце серед культурних цінностей людства, бо вони – виклик людському розуму і торжество інтелекту, плід винахідливості і волі, джерело найвищої естетичної насолоди. І в цьому їхня велика гуманістична місія. Розв’язування таких задач подібне до гри в шахи чи занять спортом або високим мистецтвом.

Дещо перефразовуючи уже цитованих тут Р. Куранта і Г. Роббінса, скажемо: «Не філософські роздуми про предмет математичної науки, а саме активні заняття математикою допоможуть з’ясувати її предметну суть.