2. Приклади характерних задач з розв’язанням

Задача 1. На основі спектральної щільності випромінювання одержати розподіл . Визначити . Показати, що .

Розв’язання. Спектральна щільність рівноважного випромінювання має вигляд

. (1)

Відповідний розподіл за довжинами хвиль λ одержимо з формули

,

звідки (враховуючи, що )

. (2)

Для визначення довжини хвилі , яка припадає на максимум розподілу (2), позначимо та обчислимо з умови . В результаті отримаємо , тобто

. (3)

Аналогічно, покладаючи в (1) , одержимо з умови значення , або

. (4)

Порівнюючи (3) з (4), бачимо, що , оскільки за рахунок фактора (1) та (2)  принципово різні розподіли.

Задача 2. Визначити температуру поверхні Сонця, вважаючи його абсолютно чорним тілом, якщо відомо, що максимум інтенсивності в його випромінюванні припадає на довжину хвилі _max = 510^5 см.

Розв’язання. Використовуючи результат (3) попередньої задачі, знайдемо

,

що дає

.

Задача 3. При вибуху атомної бомби в її центрі температура досягає порядку 10⁸ К. Визначити світловий тиск у центрі бомби в момент вибуху, припускаючи, що випромінювання рівноважне.

Розв’язання. З термодинаміки відомо, що тиск рівноважного випромінювання можна зобразити у вигляді (з урахуванням закону Стефана–Больцмана)

. (1)

Статистична фізика дозволяє розрахувати сталу σ, з урахуванням цього (1) набирає вигляду:

,

що для дає

.

Задача 4. Знайти число фотонів з частотою в інтервалі від  = 5,1510¹⁴ с^1 до  + d =5,2010¹⁴ с^1 при Т = 3000 К в порожнині об’ємом V = 1 м³?

Розв’язання. Кількість фотонів в досить вузькому інтервалі частот та об’ємі можна вирахувати за формулою

, (1)

де  спектральна щільність рівноважного випромінювання.

У нашому випадку , . Отже, число фотонів

.

Задача 5. Визначити повне число квантів в одиниці об’єму порожнини, яка заповнена рівноважним тепловим випромінюванням при температурі 27 ^○С.

Розв’язання. Шукане число N квантів випромінювання можна знайти інтегруючи вираз (1) попередньої задачі за повним спектром частот:

. (1)

Заміна в (1) з урахуванням  м³ дає:

. (2)

Інтеграл в (2) дорівнює . Тому остаточно

.

Задача 6. Знайти залежність середнього числа фотонів рівноважного випромінювання від повної енергії й об’єму .

Розв’язання. Середнє число фотонів та їх повну енергію можна записати відповідно як

,

та

.

Після заміни вирази для N i E набирають вигляду:

,

,

тобто , а . Позбавившись у цих пропорціональностях від температури Т, одержимо шуканий результат:

.

16.3. Задачі для самостійного розв’язування

16.1. Показати, що хімічний потенціал фотонного газу дорівнює нулю.

16.2. Виходячи з уявлень про світлові кванти, обчислити тиск рівноважного випромінювання на дзеркальну поверхню.

16.3. Обчислити енергію газу фотонів з частотами від Гц до Гц при К у порожнині об’ємом 1 м³.

16.4. Показати, що закон випромінювання Віна та закон випромінювання Релея–Джинса є частинними випадками формули Планка (16.6).

16.5. За якої температури густина енергії випромінювання в одноатомному газі дорівнює густині енергії газу? Обчислити температуру для випадку, коли густина газу дорівнює густині за нормальних умов.

16.6. Вивести формули для спектральної і повної густини енергії рівноважного випромінювання у двовимірному випадку.

Розділ 17