2.1.2. Ортогональное вращение

Вращение обычно применяется после выделения факторов для максимизации высоких корреляций и минимизации низких. Существуют многочисленные методы вращения, но чаще всего используется поворот варимакс, представляющий собой процедуру максимизации дисперсии. Этот поворот максимизирует дисперсии факторных нагрузок, делая высокие нагрузки выше, а низкие ниже дня каждого из факторов. Эта цель достигается с помощью матрицы преобразования Л:

А до поворота Л=А после поворота,

(13)

т.е. матрица факторных нагрузок до поворота умножается на матрицу преобразования и в результате получается матрица факторных нагрузок после поворота. В нашем примере:

Сравните матрицы до и после поворота. Обратите внимание, что у матрицы после поворота низкие факторные ни грузки ниже, а высокие выше, чем у матрицы до поворота. Подчеркнутая разница нагрузок облегчает интерпретацию фактора, позволяет однозначно выбрать сильно взаимосвязанные с ним переменные.

Элементы матрицы преобразования имеют специальную геометрическую интерпретацию:

(14)

Матрица преобразования — это матрица синусов и косинусов угла ψ, на который выполняется поворот. (Отсюда и название преобразования — поворот, потому что с геометрической точки зрения происходит поворот осей вокруг начала координат факторного пространства.) В нашем примере этот угол составляет примерно 19 градусов: cos19°= .946 и sin19°=.325. Геометрически это соответствует повороту факторных осей на 19 градусов вокруг начала координат. (Более подробно о геометрических аспектах вращения см. далее.)

2.1.3. Общности, дисперсия и ковариация

Выполнив поворот и получив матрицу факторных нагрузок после поворота, можно проанализировать серию других показателей (см. табл. 4). Общность переменной — это дисперсия, рассчитанная с помощью факторных нагрузок. Это квадратичная множественная корреляция переменной, предсказанная факторной моделью. Общность вычисляется как сумма квадратов факторных нагрузок (СКН) для переменной по всем факторам. В табл. 4 общность для стоимости путевки равна (-0,086)²+(0,981)²=0,970, т.е. 97% дисперсии стоимости путевки объясняется факторами 1 и 2.

Доля дисперсии фактора по всем переменным — это СКН по фактору, деленная на количество переменных (в случае ортогонального вращения)⁷. Для первого фактора доля дисперсии равна:

[(-0,086)²+ (-0,071)²+ (0,994)² + (0,997)²] /4 = 1,994/4 = 0,50,

т.е. первый фактор объясняет 50% дисперсии переменных. Второй фактор объясняет 48% дисперсии переменных и (в силу ортогональности вращения) два фактора в сумме объясняют 98% дисперсии переменных.

Доля дисперсии решения, объясняемая фактором, — доля ковариации — это СКН для фактора, деленная на гумму общностей (сумму СКН по переменным). Первый фактор объясняет 51% дисперсии решения (1,994/3,915); второй — 49% (1,919/3,915); два фактора вместе объясняют всю ковариацию.

Таблица 4

Связь между факторными нагрузками, общностями, СКН, дисперсией и ковариацией ортогональных факторов после поворота

	Фактор 1	Фактор 2	Общности (h2)
Стоимость путевки	-0,086	0,981	∑а2=0,970
Уровень комфорта	-0,071	-0,977	∑а2=0,960
Температура воздуха	0,994	0,026	∑а2=0,989
Температура йоды	0,997	-0,040	∑а2=0,996
СНК	∑а2= 1,994	∑а2=1,919	3,915
Доля
дисперсии	0,50	0,48	0,98
Доля ковариации	0,51	0,49	1,00

Воспроизведенную корреляционную матрицу можно вычислить при помощи уравнения:

Заметим, что воспроизведенная матрица взаимосвязей все-таки отличается от исходной. Разница между исходной и воспроизведенной матрицами называется остаточной матрицей взаимосвязей:

R _ост = R-R (15)

т.е. остаточная матрица взаимосвязей — это разность между исходной (наблюдаемой, измеренной) и воспроизведенной матрицами взаимосвязей.

При хорошем факторном решении числа в остаточной матрице взаимосвязей должны быть очень малы в силу незначительности различии между исходной и воспроизведенной матрицами взаимосвязей.