Глава 2 Основные уравнения и процедуры факторного анализа

2.1. Основные уравнения

Раньше практически во всех учебниках и монографиях по факторному анализу предусматривалось объяснение того, как проводить основные вычисления «вручную» или посредством простейшего счетного устройства (арифмометра или калькулятора). Сегодня в связи со сложностью и большим объемом вычислений, необходимых для построения матрицы взаимосвязей, выделения факторов и их вращения, наверное, не осталось ни одного человека, который при проведении факторного анализа не использовал бы мощных компьютеров и соответствующих программ.

Поэтому мы сосредоточим внимание на том, какие наиболее существенные матрицы (массивы данных) можно получить в ходе факторного анализа, как они связаны друг с другом и как их можно использовать для интерпретации данных. Все необходимые вычисления можно сделать с помощью любой компьютерной программы (например, SPSS или STADIA).

В табл. 1 приведен список наиболее важных матриц для методов главных компонент и факторного анализа. Этот список содержит в основном матрицы взаимосвязей (между переменными, между факторами, между переменными и факторами), стандартизированных значений (по переменным и по факторам), регрессионных весов (для расчета факторных значений с помощью значений по переменным), а также матрицы факторных отображений взаимосвязей между факторами и переменными после косоугольного вращения. В табл. 1 приводятся также матрицы собственных чисел и соответствующих им собственных векторов. Собственные числа (собственные значения) и собственные вектора описываются ввиду их значимости для выделения факторов, употребления в этой связи большого количества специальных терминов, а также тесной связи собственных чисел и дисперсии в статистических исследованиях.

Таблица 1

Матрицы, наиболее часто используемые в факторном анализе

Обозначение	Название	Размер	Описание
R	Матрица взаимосвязей	p x p	Взаимосвязи между переменными
D	Матрица нестандартизированных данных	N x p	Первичные данные — нестандартизированные значения наблюдений по первичным переменным
Z	Матрица стандартизированных данных	N x p	Стандартизованные значения наблюдений по первичным переменным
F	Матрица значений факторов	N x f	Стандартизированные значения наблюдений по факторам
А	Матрица факторных нагрузок Матрица факторного отображения	p x f	Коэффициенты регрессии для общих факторов при условии, что наблюдаемые переменные являются линейной комбинацией факторов. В случае ортогонального вращения — взаимосвязи между переменными и факторами
В	Матрица коэффициентов значений факторов	p x f	Коэффициенты регрессии для вычисления значений факторов с помощью значений переменных
S	Структурная матрица	p x f	Взаимосвязи между переменными и факторами
Ф	Матрица корреляций факторов	f x f	Корреляции между факторами
L	Матрица собственных значений (диагональная)	f x f	Собственные значения (характеристические, латентные корни); каждому фактору соответствует одно собственное число
V	Матрица собственных векторов	f x f	Собственные (характеристические) вектора; каждому собственному числу соответствует один собственный вектор

Примечание. При указании размера дается количество рядов х количество столбцов: р — количество переменных, N — количество наблюдений, f — количество факторов или компонент. Если матрица взаимосвязей R не вырождена и имеет ранг равный р, то тогда фактически выделяется р собственных чисел и собственных векторов, а не f. Однако интерес представляют только f из них. Поэтому оставшиеся p - f не показываются.

К матрицам S и Ф применяется только косоугольное вращение, к остальным — ортогональное и косоугольное.

Набор данных, подготовленных для факторного анализа, состоит из результатов измерений (опроса) большого количества испытуемых (респондентов) по определенным шкалам (переменными). В табл. 2 приводится массив данных, который условно можно считать удовлетворяющим требованиям факторного анализа.

Пяти респондентам, обратившимся в туристическое агентство с целью приобрести путевку на морской курорт, были заданы вопросы о значимости для них четырех условий (переменных) выбора места летнего отдыха. Этими условиями-переменными были: стоимость путевки, комфортабельность комплекса, температура воздуха, температура воды. Чем большей, с точки зрения респондента, значимостью обладало для него то или иное условие, тем большее значение он ему приписывал. Исследовательская задача состояла в изучении модели взаимосвязи между переменными и выявлении глубинных причин, обусловливающих выбор курорта. (Пример, конечно же, предельно упрощен в иллюстративно-учебных целях, и его не следует рассматривать всерьез в содержательном аспекте.)

Матрица взаимосвязей (табл. 2) была вычислена как корреляционная. Обратите внимание на структуру взаимосвязей в ней, выделенную вертикальными и горизонтальными линиями. Высокие корреляции в верхнем левом и нижнем правом квадрантах показывают, что оценки по стоимости путевки и комфортабельности комплекса взаимосвязаны, также как и оценки по температуре воздуха и температуре воды. Два других квадранта показывают, что температура воздуха и комфортабельность комплекса связаны между собой, также как и комфортабельность комплекса и температура воды.

Попробуем теперь с помощью факторного анализа обнаружить эту структуру корреляций, легко замечаемую невооруженным глазом в маленькой корреляционной матрице (в большой матрице это очень непросто сделать).

Таблица 2

Данные для факторного анализа (учебный пример)

Туристы	Переменные
	Стоимость путевки	Уровень комфорта	Температура воздуха	Температура воды
T1	32	64	65	67
Т2	61	37	62	65
Т3	59	40	45	43
Т4	36	62	34	35
Т5	62	46	43	40

Корреляционная матрица

	Стоимость путевки	Уровень комфорта	Температура воздуха	Температура воды
Стоимость путевки	1,000	-0,953	-0,055	-0,130
Уровень комфорта	-0,953	1,000	-,091	-0,036
Температура воздуха	-0,055	-0,091	1,000	0,990
Температура воды	-0,130	-0,036	0,990	1,000