§3.2. Анализ резистивных цепей по уравнениям.

3.2.1.Методы законов Кирхгофа (мзк).

Метод не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

Дано: Е₁, Е₂; R₁ ... R₄

Определить токи в ветвях (МЗК)

Определяем число независимых уравнений, по законам Кирхгофа, которые по количеству равны числу ветвей или числу неизвестных токов.

Число уравнений по 1закону Кирхгофа (1зК) и 2 закону Кирхгофа (2зК) равно «в» – число ветвей.

По 1зК число уравнений равно числу узлов без единицы: .

По 2зК число уравнений равно числу ветвей: – число независимых контуров.

Независимый контур – контур, в котором есть хотя бы одна ветвь, отсутствующая в других контурах

Сколько «стекол», столько независимых контуров !!!

Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров:

1-ый контур

Решаем систему уравнений методом подстановки или методом определителей (метод Крамера):

∆ = ≠ 0

I₁ = ; I₂ = ; I₃ = , где

∆₁ = и т.д.

3.2.2.Метод контурных токов.

Сначала, на основании уравнения 2зК, определяются контурные токи, которые замыкаются в независимых контурах. Это фиктивные токи. Затем, через контурные токи определяют токи в ветвях.

Дано: Е₁, Е₂, Е₃ ; R₁ ... R₆

Определить токи в ветвях (МКТ)

ɞ = 5 ; у = 3 ; q = 3

1. Число уравнений по методу контурных токов (МКТ) равно q = 3.

2. Выбираем направление контурных токов в одну сторону.

3. Составляем систему уравнений:

, где

– собственное сопротивление контура (сумма сопротивлений, входящих в контур, всегда с «+»);

- общее или взаимное сопротивление контуров (сумма сопротивлений, принадлежащих контуру и контуру к , всегда с «-»);

– контурная ЭДС контура (алгебраическая сумма ЭДС, входящая в контур).

+ , если совпадает с направлением контурного тока.

- , если противоположно направлению контурного тока или направлению обхода.

В общем виде для независимых контуров система уравнений имеет вид:

Контурное ЭДС:

; ;

Решая систему уравнений методом определителей для контурного тока в К –контуре, получаем:

(*) , где

≠ 0 (n – число независимых контуров);

- число независимых контуров.

- алгебраическое дополнение.

= =

Далее определяются токи в ветвях через контурные токи. Для этого произвольно выбирают направление токов.

Токи в ветвях, которые принадлежат одному контору, равны контурному току с учетом выбранного направления. А токи в смежных ветвях равны разности контурных токов и совпадают по направлению с одним из них.

Примечание: если в схеме есть идеальный источник тока с внутренним сопротивлением, равным ∞, то ток этого источника надо выбрать в качестве контурного, при этом число неизвестных контурных токов и число уравнений сокращаются.