§7.3. Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения (интеграл Дюамеля).
Реакция цепи на единичную функцию 1(t), называемую функцией Хэвисайда, называется переходной характеристикой цепи
Входной сигнал - может быть напряжением (током).
Выходной сигнал – либо ток, либо напряжение на элементах.
Переходные характеристики численно равны току или напряжению на соответствующих элементах.
RL – цепь: ; ;
RC – цепь: ; ;
Интеграл Дюамеля можно определить при произведении входных сигналов.
Пусть
непрерывно изменяющаяся функция.
запишем входной сигнал из этих сигналов ,
идущих друг за другом непрерывно с одинаковым интервалом .
Каждый скачок запаздывает на , т.е. действует в момент .
Элементарные скачки имеют знак «+» для возрастающей , «-» - для убывающей.
Реакция цепи:
1) При действует скачок и реакция цепи будет
2) При скачок и реакция цепи: .
3) Скачки включаются непрерывно от до и суммарная реакция цепи:
4)
Интеграл Дюамеля
Примечание: интеграл Дюамеля применим также для входного сигнала, представляющего собой
кусочно-аналитическую функцию.
Задача:
Определить:
, где
;
Глава 8. Операторный и спектральный анализ цепи.
§8.1. Операторный метод расчетов переходных процессов
8.1.1. Метод преобразований по Лапласу.
Недостатком классического метода является сложность решения дифференциальных уравнений 2-ого порядка и выше.
Преимущество операторного метода простота записи начальных условий. Они сразу обозначаются на схеме и учитываются при расчете.
Суть метода:
1)
, где
2) Идет расчет цепи в операторной форме: при этом упрощаются операции интегрирования и дифференцирования. Вместо дифференциальных уравнений решаются алгебраические, интегрированные
3) Обратно по времени:
Изображение некоторых функций по Лапласу
1) ,
2)
,
3)
, где
Пример:
4) Выражение функций, связанных интегрированием и дифференцированием.
(1)
(2)
При начальных условиях
Заметим, что в этом методе заменяется на
(3)
(4)
Заменяем на
Аналогичные выражения получатся при интегрировании.
8.1.2. Закон Ома в операторной форме.
1) При нулевых начальных условиях:
2) Ненулевые начальные условия:
Если ненулевые начальные условия, то добавляем
2 закон Кирхгофа для этой схемы:
Общий случай закона Ома:
8.1.3. Законы Кирхгофа в операторной форме.
1з.К.:
2з.К.:
При нулевых начальных условиях:
8.1.4. Методы расчета в операторной форме.
Законы Кирхгофа в операторной форме похожи по написанию на законы Кирхгофа для цепи постоянного тока, поэтому похожи на все методы расчета.
Например, метод узловых потенциалов (МУП):
8.1.5. Переход от изображения к оригиналу. Теорема разложения.
Переход совершается следующим способом:
1)
2) по таблицам ;
3) по теореме разложения:
, где
не имеет кратных корней.
теорема разложения
Пример:
Приравниваем :
По теореме разложения:
8.1.6. Пример расчета переходных процессов в цепях 2-ого порядка операторным методом.
Дано:
Определить после коммутации
Решение:
1) Определим начальные условия до коммутации
2) Схема после коммутации в операторной форме:
По 2 закону Кирхгофа:
Приравниваем
,
где