7.2.4. Переходные процессы 2-ого порядка.

7.2.4.1. Включение r,l,с – цепи на постоянное напряжение.

Дано: R,L,С,U

Определить:

Решение:

1) Определяем начальные условия до коммутации:

2) Схема после коммутации:

(1)

3) Решение уравнения (1) в виде:

? ; ; ?

Возможны 3 случая из-за выражения под корнем:

1)

2)

3) .

① Апериодический режим:

Определим и из начальных условий

;

(2) , где

Нам известно, что:

1)

2)

3)

4)

Из (2):

(3),

где

Из (3):

(4),

где

Из (4):

② Критический режим:

Далее аналогично апериодическому режиму.

③ Колебательный режим:

коэффициент затухания.

частота затухания

частота собственных колебаний

постоянные интегрирования

Определим из начальных условий:

Строим график для случая

_____________________________________________________________________________________________

где

_____________________________________________________________________________________________

⊜ , где

из∆ ⇒

При , где

декремент амплитуд

логарифмический

7.2.4.2. Разряд емкости на rl-цепи .

Так как до коммутации емкость C была заряжена до напряжения U, то имеем ненулевые начальные условия: .

После коммутации (переключение ключа из положения 1 в положение 2 емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходный процесс).

1) В первом случае, когда R>2 корни p₁ и p₂ будут вещественными и различными:

где – постоянные интегрирования.

Для их определения запишем уравнение для тока в цепи:

Постоянные А₁ и А₂ можно найти из начальных условий для

и законов коммутации:

Из решения системы уравнений следует, что:

В результате получаем уравнения для напряжения u_c и тока i:

Закон изменения напряжения на индуктивности определяется при этом уравнением:

Каждая из найденных величин u_c, i, u_L состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненте с коэффициентами p₁<0 и p₂<0:

Момент времени t₁, соответствующей точке перегиба и нулевому значению u_L определяется из решения уравнения а момент t₂ из решения уравнения

Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом случае происходит апериодический разряд C, причем в интервале от 0 до t₁ энергия W_c расходуется на покрытие тепловых потерь в резистивном сопротивлении R и создание магнитного поля в индуктивности (pc = u_ci < 0; p_L = U_Li > 0).

В дальнейшем (t > t₁) как энергия электрического поля емкости W_c, так и запасенная к моменту t = t₁ магнитная энергия индуктивности W_L расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении R.

2) Во втором случае при R < 2, когда корни p₁ и p₂ носят комплексно-сопряженный характер,

называют частотой собственных затухающих колебаний.

где A и – постоянные интегрирования.

Закон изменения тока в цепи:

Постоянные A и определяются из начальных условий для u_c и i и законов коммутации:

Отсюда A=

Окончательно уравнение для u_c, i и u_L принимают вид:

Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место колебательный разряд емкости с частотой w_c, зависящей только от параметров R, L, C цепи. Интервал времени T_c = носит название квазипериода.

На рисунке изображены графики зависимостей u_c(t) и i(t) определяемых найденными уравнениями. Скорость затухания переодического процесса принято характеризовать декрементом-затухания, который определяют как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака:

(1)

На практике чаще используется логарифмический декремент затухания:

(2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что затухание тем больше, чем больше R.

При R=2 колебания прекращаются и переходный процесс становится апериодическим.

При R=0 оказываются незатухающие гармонические колебания с частотой

Очевидно, что этот случай представляет чисто теоретический интерес, так как в любом реальном контуре имеются потери. В процессе колебательного разряда емкости имеет место попеременное запасание энергии W_c в электрическом поле емкости и магнитном поле индуктивности W_L.

В начале энергия W_c расходуется на создание магнитного поля W_L индуктивности и покрытие тепловых потерь сопротивления R, затем запасенная энергия W_L, расходуется на перезаряд емкости и покрытие потерь до полного перехода первоначальной энергии W_c(0) в тепловые потери в резисторе R.

3) Третий случай R = 2 является пограничным между колебательным и апериодическим и соответствует критическому разряду емкости.

Ток определяется уравнением:

– корни характеристического уравнения;

A₁, A₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий для u_c и i и законов коммутации:

.

Отсюда A₂ = . Окончательные выражения для напряжения и тока принимают вид:

(3)

По своей форме графики зависимостей (3) аналогичны кривым, изображенным на первом рисунке с той лишь разницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2.

Значение R = 2 носит название критического сопротивления контура.