19. Производная по направлению. Градиент
Пусть Z=F(M) – функция, определенная в некоторой окрестности точки М(у; х); L={Cos; Cos} 1=– единичный вектор (на рис. 33 , 2=); L – направленная прямая, проходящая через точку М; ух и у1=у+М1(х1; у1), где х1=х+ – точка на прямой L; L – величина отрезка ММ1; Z=Fу)-х, у+(х+F(X, Y) – приращение функции F(M) в точке М(х; у).
Определение. Предел
отношения
,
если он существует, называется Производной
функции Z=F(M) в точке M(X; Y) по направлению
вектора L .
Обозначение.
|
|
Если функция F(M) дифференцируема в точке М(х; у), то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L, исходящему из М; вычисляется она по следующей формуле:
(8)
Где Cos И Cos - направляющие косинусы вектора L.
Определение. Градиентом
Функции Z=F(M) в точке М(х; у)
называется вектор, координаты которого
равны соответствующим частным производным
и
,
взятым в точке М(х; у).
Обозначение.
Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных U=F(X, Y, Z), выводятся формулы
Вводится понятие градиента
Подчеркнем, что Основные свойства градиента функции важнее для анализа экономических оптимизационных задач: в направлении градиента функция возрастает. В экономических задачах находят применение следующие свойства градиента:
1) Пусть задана функция Z=F(X, Y), имеющая частные производные в области определения. Рассмотрим некоторую точку М0(х0, у0) из области определения. Значение функции в этой точке пусть равно F(X0, Y0). Рассмотрим график функции. Через точку (X0, Y0, F(X0, Y0)) трехмерного пространства проведем плоскость, касательную к поверхности графика функции. Тогда градиент функции, вычисленный в точке (х0, у0), рассматриваемый геометрически как вектор, приложенный в точке (X0, Y0, F(X0, Y0)), будет перпендикулярен касательной плоскости. Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 34.
2) Градиент функции F(X, Y) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в точке М0. Кроме того, любое направление, составляющее с градиентом острый угол, является направлением роста функции в точке М0. Другими словами, малое движение из точки (х0, у0) по направлению градиента функции в этой точке ведет к росту функции, причем в наибольшей степени.
Рассмотрим вектор, противоположный градиенту. Он называется Антиградиентом. Координаты этого вектора равны:
Антиградиент функции F(X, Y) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого убывания функции в точке М0. Любое направление, образующее острый угол с антиградиентом, является направлением убывания функции в этой точке.
3) При исследовании функции часто возникает необходимость нахождения таких пар (х, у) из области определения функции, при которых функция принимает одинаковые значения. Рассмотрим множество точек (X, Y) из области определения функции F(X, Y), таких, что F(X, Y)=Const, где запись “Const” означает, что значение функции зафиксировано и равно некоторому числу из области значений функции.