3. Замена переменной. Интегралы от иррациональных функций

Одним из главных способов преобразования неопределенных интегралов к табличным является метод замены переменной. Он имеет два варианта. Первый вариант используется после подведения под знак дифференциала, когда имеется равенство

∫  U(x) · V'(x) dx   =   ∫  U(x)  dV(x) .

Если функция U(x) выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то

∫  U(x)  dV(x)   =   ∫  w(V(x)) dV(x)   =   ∫  w(t) dt

где t = V(x). Таким образом отыскание исходного интеграла сводится к отысканию интеграла

∫  w(t) dt

В нем функция t = V(x) выступает как независимая переменная, т.е. произошла замена переменной. Новая переменная t вводится как функция исходной переменной x. Не требуется, чтобы соответствие между x и t было взаимно однозначным.

Во втором варианте метода замены переменной новая переменная t вводится равенством x = j(t). Функция j(t) называется подстановкой. Она взаимно однозначна, т.е. имеет обратную. Этот метод основывается на следующей теореме.

Теорема. Пусть существует неопределенный интеграл

∫ f(x) dx

и пусть   x = j(t) ,  где j(t) — непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию t = j − 1(x) .

Тогда

∫ f(x) dx = ∫ f(j(t)) · j'(t) dt         при   t = j − 1(x).

(1)

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 167.

Подобрать нужную подстановку x = j(t) — искусство интегрирования. Иногда на ум приходит сначала не x = j(t), а обратная функция t = j − 1(x) . Часто приходится испробовать несколько подстановок, прежде чем будет найдена та, с помощью которой данный интеграл сводится к табличному. Некоторые подстановки оказались столь удачными, что им присвоены специальные названия. Например, используются подстановки Абеля, Эйлера, гиперболические, дробно–линейные, тригонометрические и др. Некоторые интегралы разными подстановками сводятся к разным табличным интегралам.

Интегралы от иррациональных функций

     1.

     2.

     3.

     4.

     5.

     6.

     7.

     8.

     9.

     10.

4. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.

Формула интегрирования по частям следующая .

То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

В качестве примера найдем множество первообразных функции логарифма.