Основні поняття теорії імовірностей
Подія
— це будь-яке явище, про яке можна
сказати, що воно відбувається чи не
відбувається.
Подія відбувається
внаслідок випробування.
Події позначають великими буквами
латинського алфавіту
.
Випадковою
подією
називається подія, яка може відбутися
чи не відбутися під час здійснення
певного випробування. Масовими
називають
однорідні події, що спостерігаються за
певних умов і які можуть бути відтворені
необмежену кількість разів.
Масовими
вважають і ті події, для яких відповідні
випробування не можна відтворити, але
є можливість спостерігати аналогічні
випробування у великій кількості.
Множина подій утворює повну
групу подій,
якщо внаслідок кожного випробування
хоч одна із цих подій напевно
відбудеться.
Події називаються
попарно
несумісними
в даному випробуванні, якщо ніякі дві
з них не можуть відбутися разом.
Вірогідною
називається подія, яка внаслідок
випробування обов’язково має відбутися,
а неможливою
— подія, яка внаслідок даного випробування
не може відбутися.
Імовірність
— числова характеристика можливості
появи випадкової події за певної умови,
яка може бути відтворена необмежену
кількість разів.
Імовірністю
випадкової події
називається відношення кількості подій,
які сприяють цій події, і кількості всіх
рівноможливих несумісних подій, які
утворюють повну групу подій під час
певного випробування.
Позначення:
,
де n
— загальна кількість рівноможливих і
несумісних подій, які утворюють повну
групу, m
— число елементарних подій, які сприяють
події A.
Сумою
подійA
і B
називається подія C,
яка полягає у здійсненні під час
одиночного випробування або події A,
або події B,
або обох разом.
Позначення:
,
або
.
Теорема 1. Імовірність
суми двох несумісних подій дорівнює
сумі ймовірностей цих подій, тобто
.
Наслідки
1.
Сума ймовірностей несумісних подій, що
утворюють повну групу, дорівнює 1.
2.
Сума ймовірностей протилежних подій
дорівнює 1, тобто
.
Дві
події називаються протилежними,
якщо одна, і тільки одна, з них обов’язково
здійсниться в даному випробуванні.
Добутком
двох подійA
і B
називається подія С,
що полягає у здійсненні під час одиничного
випробування і події A,
і події B.
Позначення:
,
або
.
Подія
А
називається незалежною
відподії
B,
якщо ймовірність події А
не залежить від того, відбулась чи ні
подія B.
Теорема
2. Імовірність добутку двох незалежних
подій A
і B
дорівнює добутку ймовірностей цих
подій, тобто
.
Теорема
3. Якщо події
,
,
... ,
—
взаємно незалежні, то ймовірність
здійснення принаймні однієї з них може
бути виражена через імовірність цих
подій за формулою
.
Наслідок.
Якщо
,
то
.
Взаємно
незалежними
називаються такі випробування, у яких
імовірність результату кожного з них
не залежить від того, які результати
має чи матиме решта випробувань.
Формула Бернуллі
Якщо
виконується n
незалежних випробувань, у кожному з
яких подія A
відбувається з імовірністю p,
то ймовірність того, що подія A
настане m
разів, визначається за формулою
;
.
Тема : Елементи математичної статистики.
Мета заняття : Формування навиків правильного мислення, вміння міркувати,
зіставляти і протиставляти факти, знаходити в них спільне і
характерне, робити правильні умовиводи. Виховувати в студентів
свідоме ставлення до навчання, розвивати пізнавальну активність і
культуру розумової праці.