Тема: Обчислення визначених інтегралів основними методами.

1. Заміна змінних у визначеному інтегралі.

2. Інтегрування по частинах.

1. Теорема. Нехай функція неперервна в будь-якій точці , де , і нехай , . Тоді якщо функція має неперервну похідну, то справедлива така формула:

. (1)

Ця формула називається формулою заміни змінної інтегрування в визначеному інтегралі.

Приклад 1. Обчислимо .

Застосовуємо формулу (1), припустивши, що . Для цього треба скрізь замінити х на і відповідно змінити межі інтегрування. Тут , і тому в новому інтегралі межами інтегрування будуть 1 і 4. Отже,

.

Покажемо, як цей інтеграл можна обчислити за допомогою формули заміни змінної:

. Тут зроблено підстановку .

Приклад 2. Обчислимо .

Оскільки , то припустимо, що . Тоді

.

Зазначимо, що тут робити заміну не можна, бо , а в цьому інтегралі х набуває й від’ємних значень.

Приклад 3. Обчислимо інтеграл від 0 до від функції

Маємо

.

Тут зроблено підстановку .

Зазначимо, що цей інтеграл, як і інтеграли з прикладів 1 і 2, можна обчислити без заміни змінної інтегрування. Справді,

Приклад 4. Обчислимо .

Для знаходження невизначеного інтеграла від функції скористаємось підстановкою . Точніше, зробимо таку заміну змінної інтегрування:

.

З формули тригонометрії випливає, що .

І тому .

Підрахуємо тепер

. Нарешті, оскільки , , то в новому інтегралі межами інтегрування треба брати 0 і 1. Отже,

.

Як відомо, формулу інтегрування частинами для невизначених інтегралів доводять інтегруванням рівності

. (1)

Аналогічно доводять і формулу інтегрування частинами для визначених інтегралів.

Теорема. Якщо функції і мають неперервні похідні на відрізку , то справедлива формула

. (2)

Коротко цю формулу записують так:

. (3)

Формула (2), як і формула (3), називається формулою інтегрування частинами для визначеного інтеграла.

Приклад 1. Обчислимо .

Застосуємо формулу інтегрування частинами, припустивши, що , , Тоді

Приклад 2. Обчислимо .

Припустимо, що , , тобто , і застосуємо формулу (2):

.

До знайденого інтеграла знову застосуємо формулу інтегрування частинами:

.

Отже,

Тема : Елементи теорії ймовірностей

Мета заняття : Формування навиків правильного мислення, вміння міркувати,

зіставляти і протиставляти факти, знаходити в них спільне і

характерне, робити правильні умовиводи. Виховувати в студентів

свідоме ставлення до навчання, розвивати пізнавальну активність і

культуру розумової праці.

План заняття.

1. Випадкові події та дії над ними.

2. Ймовірність події. Класична та статистична ймовірність.Теореми додавання.

3. Випадкові величини. Функція розподілу.

4. Закони розподілу дискретних випадкових величин.

5. Числові характеристики випадкових величин.