46. Число ненулевых координат у любого опорного решения кзлп задачи.
Число ненулевых координат у любого опорного решения α канонической задачи линейного программирования не превышает r=rang{A1 , …. , An} – ранга системы векторов условий этой задачи. Выше было доказано, что любому опорному решению КЗЛП соответствует хотя бы один базис системы векторов условий КЗЛП. Число векторов в любом базисе системы векторов условий КЗЛП совпадает с рангом этой системы. По определению базиса опорного решения, все координаты опорного решения α , соответствующие небазисным векторам системы векторов условий КЗЛП , равны нулю. Следовательно , ненулевых координат у опорного решения α не более, чем r .
47. Единственность базиса у невырожденного опорного решения кзлп.
Определение. Опорное решение КЗЛП (1)-(3) называется невырожденным, если число его ненулевых координат равно рангу системы векторов условий рассматриваемой задачи.
Если же число ненулевых координат опорного решения меньше ранга системы векторов условий рассматриваемой КЗЛП, то это опорное решение называется вырожденным
Свойство. Невырожденному опорному решению КЗЛП (1)-(3) может соответствовать только один базис системы векторов условий данной задачи.
Док-во:
Пусть вектор α=(0,…,0, αi1 , 0,…, 0, αi2 , 0,…., 0, αil , 0,…, 0) – невырожденное опорное решение КЗЛП, у которого по определению αi1>0 , αi2>0 , …., αil>0 , где r=rang{A1 , …. , An} , и в соответствующий ему базис системы условий КЗЛП должны входить векторы условий КЗЛП - Ai1 , Ai2 , … , An . Так как ранг системы векторов условий КЗЛП совпадает с количеством ненулевых координат данного опорного решения, то векторы Ai1, Ai2,….,Air могут образовывать только единственный базис, соответствующий рассматриваемому опорному решению. ЧТД Утверждение о том, что вырожденному опорному решению КЗЛП может соответствовать несколько базисов системы векторов условий КЗЛП , подтверждается следующим примером. Пример. Дана КЗЛП: f(X) = x1 + x2 (min) x1 + x2 – 2x3 + x4 =1 x1 – x2 + 3x3 – x4 =1 Xj ≥0 j=1,2,3,4. и дано вырожденное опорное решение α =(1,0,0,0) этой задачи. Очевидно, что вектор A1 , соответствующий ненулевой координате данного опорного решения, образует линейно независимую систему векторов и, следовательно, может быть дополнен до любого из базисов системы векторов условий, соответствующего данному опорному решению, например, либо из базиса A1 , A2 , либо до базиса A1 , A3 , либо до базиса A1 , A4 .
48. Базис системы векторов условий кзлп и опорные решения этой задачи.
(1) f(X) =
(2)
(3)
≥0,
j = 1, 2, …, n.
Базис сисемы векторов условий КЗЛП (1) – (3) является базисом некоторого опорного решения этой задачи тогда и только тогда, когда вектор ограничений B системы линейных уравнений (2) линейно выражается через базисные векторы неотрицательными коэффицентами.
▲ Необходимость. Пусть Ai1, Ai2, …, Air базис системы векторов условий задачи (1) – (3) является базисом опорного решения α = (α1, …, αj, …, αn) этой задачи. Из определения базиса попрного решения следует, что αj = 0 для любых i ≠ i1, i2, …, ir.
По определению, опрное решение является допустимым решением задачи (1) - (3), то есть оно удовлетворяет ограничениям (3) αi1≥0, αi2≥0, …, air≥0 и является решением системы линейных уравнений (2), то есть обращает ее в точное числовое равенство вида Ai1 αi1 + Ai2 αi2 + … + Air αir = B. Следовательно, вектор ограничений B линейно вражается через базисные векторы Ai1, Ai2, …, Air с неотрицательными коэффицентами.
Достаточность. Пусть Ai1, Ai2, …, Air базис системы векторов условий задачи (1) – (3) и вектор ограничений B представим в виде Ai1 αi1 + Ai2 αi2 + … + Air αir = B, где αi1≥0, αi2≥0, …, air≥0. Рассмотрим вектор α = (0, …, 0, αi1, 0, …, 0, αi2, 0, …, 0, αir, 0, …, 0). Очевидно, что этот вектор удовлетворяет условию (3) и является решениемм системы уравений (2). Следовательно, вектор α является допустимым решением задачи (1) – (3), при чем его ненулевым координатам соответствуют векторы из набора базисных векторов Ai1, Ai2, …, Air. Может случиться, что среди координат αi1, αi2, …, αir окажутся такие, которые равны нулю (например, если вектор α является вырожденным). В этом случае остальным ненулевым координатам вектора будут соответствовать некоторая, часть базисных векторов, которая будет, очевидно, линейно независимой. Таким образом, вектор α по определению является опорным решением задачи (1) – (3). Кроме того, векторы условий данной задачи, не попавшие в набор базисных векторов Ai1, Ai2, …, Air, будут соответствовать нулевымкоординатам рассматривемого вектора α.
Следовательно, по определению, набор базисных векторов Ai1, Ai2, …, Air системы векторов условий задачи (1) – (3) является базислм опорного решения α. ■