61. Свойства взаимно двойственных задач лп

1⁰ . Если векторы α=(k1,…,kn) и β=( L1 ,….,Lm ) является допустимыми решениями взаимно двойственных задач ЛП (1)(4) и (1’) –(4’) cсоответственно, то f (α)≤ φ(β) .

Значение целевой функции ЗЛП (1)-(4) на допустим векторе α=(k1,…,kn) с учетом доказанной леммы можно записать в виде

F(α)=γ1k1+…+γтkn+γ0≤( аi1 Li) k1+…+ ( in L ) kn +γ0 =

=(a11 L1+…+aml Lm) k1 +…+(a1n L1 +….+amn Lm) kn +γ0= = ( a11k11+….+a1nkn)

L1+….+ (am1k1+….+amnkn) Lm+ γ0 =

= ( 1jkj) L1 +…+ ( mjkj) Lm + γ0 = b1 L1 +….+ bm Lm + γ0 ≤φ (β)

Следовательно, f (α)≤(β).

2⁰. Если векторы α⁰ β⁰ являются допустимыми решениями взаимно двойственных задач ЛП (1-4) и (1’)-( 4') соответственно и f (α⁰) = φ (β⁰), то векторы α⁰ β⁰ - оптимальные решения этих задач соответственно.

Для произвольного допустимого решения α задачи ЛП (1)-(4)

По свойству 1⁰ выполняется неравенство f (α⁰) ≤ φ (β⁰). Так как по условию f (a⁰)= φ (β⁰),то f(α)≤f (α⁰) и по определению вектор α⁰ является оптимальным решением ЗЛП (1)-(4).

Оптимальность вектора β⁰ доказывается аналогично.

3⁰.Если целевая функция одной из взаимно двойственных задач ЛП неограниченна на множестве допустимых решений этой задачи, то другая взаимно двойственная задача ЛП не имеет одного допустимого решения, т.е. система условий этой задачи является несовместимой.

Док-во проведем от противного. Пусть целевая функция - φ (β) задачи ЛП (1’)-( 4') неограниченна снизу на множестве допустимых решений, а задача ЛП (1)-(4) имеет допустимое решение – α. Тогда по свойству 1⁰ для любого допустимого решения –β задачи ЛП (1’)-( 4') должно выполняться другое неравенство f(α)≤φ (β). Это неравенство противоречит неограниченности снизу целевой функции φ(β) на множестве допустимы решений этой задачи. След-но, задача ЛП (1)-(4) не имеент ни одного допустимого решения , т.е. система условий задачи несовместна.

62. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ .

Теорема 1. Если одна из взаимно двойственных задач ЛП имеет оптимальное решение, то и другая взаимно двойственная задача ЛП имеет оптимальное решение , при этом значения целевых функций на оптимальных решениях этих задач совпадают.

Если же целевая функция одной из взаимно двойственных задач ЛП неограниченна на множестве допустимых решений, то вторая из взаимно двойственных задач ЛП не имеет ни одного допустимого решения , т.е. система условий второй задачи несовместима.

Док-во Т.следует из сформулир выше свойств.

Теорема 2. Пусть вектора α^{0 =} (x₁⁰,….,x_n⁰) и β⁰=(y₁⁰,…,y_m⁰) являются допустимыми решениями взаимно двойственных задач ЛП (1)-(4) и (1’)-(4’) соответственно. Для того , чтобы векторы α⁰ и β⁰ были оптимальными решениями этих задач необходимо и достаточно выполнение следующих равенств :

X _j⁰ ( _ij y_i⁰ –y_j) = 0, J=1,2,…..., n;

Y_i⁰ ( _ij x_i⁰ –b_j) = 0, I = 1,2,….,m.

Необходимость. Пусть вектор α⁰ β⁰ оптимальные решения взаимно двойственных задач ЛП (1)-(4) и (1’) - (4’) соответственно. Тогда по свойству 2⁰ выполняется равенство f (α⁰ ) =φ (β⁰) , которое можно записать в виде : γ₁ x₁⁰ +….+ γ_n x_n⁰ +γ₀ = b₁ y₁⁰ +…+ b_my_m⁰+γ₀.

Э то равенство с учетом соотношения (L₂), т.е.( _ij y_i⁰)x_j⁰ ≥γ_jx_j⁰ ,j=1,2,…..,n, равносильно неравенству:

( _i1 y_i⁰) x₁⁰ +….+ ( _iт y_i⁰) x_т⁰ ≥ b₁y₁⁰+….+ b_my_m ⁰

(a₁₁y1⁰+….+ a_miy_m⁰) x₁⁰ +….+ (a_1ny₁⁰+….+a_mny_m⁰) x_n⁰ + γ₀≥ b₁ y₁⁰ +….+b_my_m⁰

( a₁₁x₁⁰ +…+ a_1nx_n⁰ –b₁) y₁⁰ +…+ (a_m1x₁⁰ +….+ a_mnx_n⁰ -b_m)y_m≥ 0

( a_1j x_j⁰ –b₁) y₁⁰ +….+ ( _mj x_j⁰ –b_m) y_m⁰ ≥0

В то же время , из условий задач 1)-(4) и (1’) - (4’)следует, что каждое слагаемое в последнем неравенстве неположительное. Поэтому и все выражение в левой части этого неравенства не положительно. Следовательно , в последнем соотношении должно быть равенство . т.е.,

( _1j x_j⁰ –b₁) y₁⁰ +….+ ( _mj x_j⁰ –b_m) y_m⁰ =0

Однако сумма неположительных слагаемых может равняться нулю только тогда,когда каждое слагаемое ранво нулю,т.е.

Y_i⁰ ( _mj x_j⁰ –b_i) =0, i= 1,2,…,m.

Таким образо необходимость для выполнения второго соотношения в утверждении теоремы доказана.

Необходимость для выполнения первого соотношения в утверждении теоремы доказывается аналогично.

Достаточность. Пусть выполняются равенства:

{ x_j⁰(∑^m_i=1a_ijy_j⁰-y_j)=0, j=1,2,…,n;

{y_i⁰(∑ⁿ_j=1a_ijx⁰_j-b_i)=0, i=1,2,…,m.

Тогда f(a⁰)=y₁x₁⁰+…+y_nx_n⁰+y₀=x_j⁰(∑a_ijy_i⁰)+…+x_j⁰(∑a_ijy_i⁰)+y⁰=(a₁₁y₁⁰+…+a_m1y_m⁰)x₁⁰+…+(a_1ny₁⁰+…+a_mny_m⁰)x_n⁰+y₀=

=b₁y₁⁰+…+b_my_m⁰+y₀=φ(ß⁰)

Т.е. f(a⁰)= φ(ß⁰). Откуда с учётом свойства 2⁰ следует, что векторы a⁰ и ß⁰ оптимальные решения взаимно двойственных задач ЛП (1)-(4) и (1’)-(4’) соответственно.