33.Правило умножения матриц

Произвольная система чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, которая содержит m строк и n столбцов, называется(m,n) – мерной матрицей (или, просто , матрицей) чисел и обозначается А(mxn).

Пусть даны две матрицы A[m x n] и B[n x l], при чем число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Тогда матрица С[m x l] с элементами :C _ij =ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj, i=1,2,…,m; j=1,2,…,l, (т.е. i-я строка матрицы А, умноженная скалярно на j-й столбец матрицы В, дает Сij элемент матрицы С, стоящий i-й строке и j-м столбце) называется произведением матрицы А на матрицу В(справа) и обозначается С=А *B

Пример. * = =

Пример.

= ; = Следовательно, в общем случае A*B B*A

Из определения операции произведения матриц следует, что:

a*(A*B)=(a*A)*B=(A*a)*B=A*(a*B)=A*(B*a)=(A*B)*a

(A+B)*C=A*C +B*C и C*(A+B)= C*A + C*B значит (A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D

A*(B*C)=(A*B)*C

34.Свойство системы линейных уравнений, содержащих тривиальное уравнение

Если в i-м уравнение коэффициенты при всех неизвестных и свободный член равен нулю, т. е. ai1=ai2=…=ain=bi=0, то любой n-мерный вектор является решением этого уравнения, поэтому такое уравнение называется тривиальным.

Теорема. Система линейных уравнений, содержащая тривиальное уравнение, равносильна той же системе без тривиального уравнения.

Рассмотрим систему линейных уравнений(1) и ту же систему(2), но без тривиального уравнения.

}(2)

Пусть вектор К=(k1,…,kn)является решением системы(1), тогда этот вектор является и решением системы (2).

Обратно, пусть вектор L=(l1,…ln)является решением системы(2). Так как n-мерный вектор L является и решением тривиального уравнения, то он является решением системы(1).

Таким образом система линейных уравнений, содержащая тривиальное уравнение, равносильна этой же системе без тривиального уравнения.

Следствие. При решении систем линейных уравнений тривиальное уравнение можно не рассматривать(вычеркивать).

35.Свойства свободных неизвестных в разрешенной системе уравнений.

Неизвестные называются свободными для данного набора разрешенной системы линейных уравнений, если они не вошли в данный набор

Пример. В системе (3) свободными неизвестными являются Xr+1,…,Xn а в (*) неизвестные Х4,Х5,Х6,Х7 являются свободными для набора(Х1,Х2,Х3)

(3)

С истему (3) можно записать в виде где Cij=-aij (4) (3)

(4)

Теорема(свойство свободных неизвестных)

Если в разрешенной системе линейных уравнений(4) придать свободным неизвестным Xr+1,…,Xn произвольные значения kr+1, …, kn т.е. Xr+1=kr+1,…,Xn=kn то найдется единственное решение этой системы в виде n-мерного вектора K,у которого значения координат, соответствующих свободным неизвестным, равны соответственно kr+1,…,kn

Подставим Xr+1=kr+1,…,Xn=kn в систему(4). Тогда разрешенные неизвестные Х1,…Xr примут k1,…kr,что:

(5)

Так как вектор К=(k1,…,kr,kr+1,…,kn)обращает каждое уравнение системы (4) в точное числовое равенство, то он является решением этой системы. Таким образом, доказано существование решения системы(4).

Докажем единственность такого решения. Пусть вектор L=(l1,…,lr,kr+1,…,kn) с теми же значениями свободных неизвестных является также решением системы(4).Тогда подставив его в систему (4), получим:

(6)

Cсопоставляя (5) и (6), видим, что l1=k1, …, l1=k1.Таким образом, доказано, что существует единственное решение системы (4) с заданными значениями неизвестных.

Замечания:

1. Так как значения свободных неизвестных можно задать бесконечно большим числом способов, то система (4) является неопределенной.

2. Разрешенная система линейных уравнений всегда совместна. При этом она определена, если m=n, т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и не определена, если число уравнений меньше числа неизвестных, т.е. m<n.