17. Распределительный метод

Один из наиболее простых методов решения транспортных задач - распределительный метод. 

Пусть для транспортной задачи найдено начальное опорное решение Х₁ и вычислено значение целевой функции на этом решении F(Х₁). По доказанной выше теореме для каждой свободной клетки таблицы задачи можно построить единственный цикл, который содержит эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением. Обозначив этот цикл и осуществив сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину   можно получить новое опорное решение Х₂. 

Определим, как изменится целевая функция при переходе к новому опорному решению. При сдвиге на единицу груза по циклу, соответствующему клетке (l,m), приращение целевой функции Δ_lm равно разности двух сумм:

где  - сумма стоимостей перевозок единиц груза в нечетных клетках цикла, отмеченных знаком “+” ;  - сумма стоимостей перевозок единиц груза в четных клетках цикла, отмеченных знаком “-”.  В клетках, отмеченных знаком “+”, величины груза прибавляются, что приводит к увеличению значения целевой функции F(X), а в клетках, отмеченных знаком “-”, величины груза уменьшаются, что приводит к уменьшению значения целевой функции. 

Если разность сумм для свободной клетки ( l, m ) меньше нуля, т.е. Δ _lm< 0, то перераспределение величины θ по соответствующему циклу приведет к уменьшению значения F(X)на величину θ•Δ_lm, т.е. опорное решение можно улучшить. Если же величины Δ_lm, называемые оценками, для всех свободных клеток таблицы транспортной задачи неотрицательны, то значение целевой функции нельзя уменьшить и опорное решение оптимально. Следовательно, признаком оптимальности распределительного метода является условие

Для решения транспортной задачи распределительным методом необходимо найти начальное опорное решение. Затем для очередной опорной клетки (l, m) построить цикл и вычислить оценку Δ_lm. Если оценка неотрицательная, переходят к следующей свободной клетке. Если же оценка отрицательная, следует осуществить сдвиг по циклу на величину  . В результате получится новое опорное решение.

Для каждого нового опорного решения вычисление оценок начинается с первой свободной клетки таблицы. Очередность проверяемых свободных клеток целесообразно устанавливать в порядке возрастания стоимости перевозок c_ij ,так как решается задача на нахождение минимума.

ПРИМЕР. Решить распределительным методом транспортную задачу, исходные данные которой приведены в таблице:

		b1		b2		b3
		20		40		40
a1	20		1		3		2
a2	30		4		5		7
a3	50		6		8		15

Решение. Строим начальное опорное решение методом минимальной стоимости :

Затем вычисляем значение целевой функции на нем: F(X₁) = 20∙1 + 30∙5 + 10∙8 + 40∙15 = 850.  Таблица    Находим цикл для свободной клетки (1, 2) таблицы, он включает клетки (1, 2), (1, 3), (3, 3), (3, 2). Вычисляем оценку Δ₁₂ = (3 + 15) - (2 + 8) = 8. Так как Δ₁₂ = 8 > 0, переходим к следующей свободной клетке (2, 1). Для нее цикл таков: (2, 1), (1, 1), (1,3), (3, 3), (3, 2), (2, 2) (см. табл.). Оценка Δ₂₁ = (4 + 2 + 8) - (1 + 15 + 5) =14 - 21 = -7. Так как Δ₂₁| = -7 < 0, определяем величину груза, перераспределяемого по циклу,   Приращение целевой функции ΔF=-7∙20=-140. Получим новое опорное решение X₂ . Значение целевой функции на нем F(X₂)=20∙2+20∙4+10∙5+30∙8+20∙15=710.    Вычисляем Δ₁₁ = (1 + 15 + 5) - (2 + 8 + 4) =7>0 , Δ₁₂= (3 + 15) - (2 + 8) =8>0,   Δ ₂₃ = (7 + 8) - (5 + 15)=-5<0, Δ₃₁= (6 + 5) - (8 + 4) =-1<0. Оценки можно вычислять до первой отрицательной. Так какΔ₂₃ =-5<0,  осуществляем сдвиг по циклу (2,3), (3,3), (3,2), (2,2) на величину  . Приращение целевой функции ΔF=-5∙10=-50. Получаем третье опорное решение X₃. Значение целевой функции на нем F(X₃)=20∙2+20∙4+10∙7+40∙8+10∙15=660.    Вычисляем оценки для свободных клеток Δ₁₁ = (1 + 7) - (2 + 4) =2>0 ,  Δ₁₂ = (3 + 15) - (2 + 8) =8>0,   Δ₂₂ =(5 + 15) - (7 + 8)  =5>0,   Δ₃₁ = (6 + 7) - (4 + 15) =-6<0. Так как  Δ₃₁=-6<0, осуществляем сдвиг по циклу (3,1), (2,1), (2,3), (3,3), на величину    Приращение целевой функции ΔFm=-6∙10=-60. Получаем четвертое опорное решение X₄ Значение целевой функции на нем F(X₄)=20 ∙2+10∙4+20∙7+10∙6+40∙8=600.    Вычисляем оценки для свободных клеток Δ₁₁ = (1 + 7) - (2 + 4) =2>0 ,  Δ₁₂ = (3 + 7+ 6) - (2 +4+ 8) =2>0,   Δ₂₂ =(5 + 6) - (4 + 8)  =-1<0. Так как  Δ₂₂ =-1<0, осуществляем сдвиг по циклу (2,2), (3,2), (3,1), (2,1), на величину    Приращение целевой функции ΔF=-1∙10=-10. Получаем пятое опорное решение X₅.    Значение целевой функции на нем F(X₅)=20 ∙2+10∙5+20∙7+20∙6+30∙8=590. Вычисляем оценки для свободных клеток Δ₁₁ = (1 + 7) - (2 + 4) =2>0 ,  Δ₁₂ = (3 + 7) - (2 +5) =3>0,   Δ₃₃ =(15 + 5) - (7 + 8)  =5>0. Все оценки для свободных клеток положительные, следовательно, последнее опорное решение оптимально.