27.Методы «сканирования» паретовской границы на основе метода идеальной точки.

См. стр. 134 – 141 документа «ответ на вопр. 27-30»

28. Методы формирования обобщенного критерия. Свертка локальных критериев.

См. стр. 153 – 158 документа «ответ на вопр. 27-30»

29.Основные методы нормировки локальных критериев.

Нормирующие множители - весовые коэффициенты. Нормирование необходимо для объединения нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность.

При разработке методов решения векторных задач приходится решать ряд специфических проблем.

Проблема нормализации возникает в связи с тем, что локальные критерии имеют, как правило, различные единицы и масштабы измерения, и это делает невозможным их непосредственное сравнение. Операция приведения критериев к единому масштабу и безразмерному виду называется нормированием. Наиболее распространенным способом нормирования является замена абсолютных значений критериев их относительными величинами.

Проблема выбора принципа оптимальности связана с определением свойств оптимального решения и решением вопроса – в каком смысле оптимальное решение превосходит все остальные.

Проблема учета приоритета критериев возникает, если локальные критерии имеют различную значимость. Необходимо найти математическое определение приоритета и степень его влияния на решение задачи.

Для того чтобы обеспечить однородность частных критериев, которые, имеют различные шкалы, в практике часто используют простые приемы эквивалентного преобразования неоднородных частных критериев к единому, безразмерному виду. Используются следующие формулы преобразований (в качестве стандарта выбрано преобразование в шкалу со значениями из отрезка [0;1]:

1)Если известны эталонные значения показателей (например, стандарт, норма), то используется преобразование следующего вида:

,

где W_i – относительное значение i-го критерия;

W_i^о – текущее значение i-го критерия;

W_i ^э – эталонное значение i-го критерия;

m - количество локальных критериев.

2)Если известны максимально возможные значения показателей, то ,

где W_i^max – максимальное значение i-го критерия.

3)Если известны диапазоны изменения показателей, то или ,

где W_i^min – минимальное значение i-го критерия.

{СМ ДЗ №1}

30.Процедуры нахождения весовых коэффициентов важности.

Метод заключается в том, что эксперт ставит каждому показателю критерия соответствующий весовой коэф-т (коэф-т значимости) по всем решениям. Используются два варианта формирования весовых коэф-в:

1. Сумма всех коэф-ов должна быть равна какому-нибудь целому числу, например для шести признаков решения устанавливаются коэф-ты 0,2; 0,1; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1 – в сумме это составляет 1.

2. Для наиболее важного признака решения устанавливают предельный коэф-т (например, 10), все остальные коэф-ты равны долям этого числа (напр. 1, 2, 4, 7).

Затем подсчитывается сумма весовых коэф-в по каждому решению (горизонтальное суммирование). Максимальная сумма и определяет лучшее решение.

См. стр. 146 – 150 документа «ответ на вопр. 27-30»

31.Принцип иерархического синтеза для построения обобщенного компромиссного критерия, и его реализация в методе анализа иерархий Т. Саати (МАИ).

32.Упрощенный вариант метода анализа иерархии.

См. стр. 168 – 178 документа «ответ на вопр. 27-30»

Сам стандартный вариант метода на стр. 163.

33.Модели выбора в условиях полной неопределенности: Вальда (гарантированного результата), минимального сожаления Севиджа, оптимизма-пессимизма Гурвица.

См. стр. 9 – 13 документа «отв на вопр. 33»

34.Критерии максимума ожидаемого среднего выигрыша и минимума ожидаемого среднего риска.

Если при принятии решения ЛПР известны вероятности p_j того, что реальная ситуация может развиваться по варианту , то говорят, что ЛПР находится в условиях частичной неопределенности. В этом случае можно руководствоваться одним из следующих критериев (правил).

Критерий (правило) максимизации среднего ожидаемого дохода. Этот критерий называется также критерием максимума среднего выигрыша. Если известны вероятности p_j вариантов развития реальной ситуации, то доход, получаемый при i-ом решении, является случайной величиной Q_i с рядом распределения

qi1	qi2	…	qin
p1	p2	…	pn

Математическое ожидание M[Q_i] случайной величины Q_i и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также :

= M[Q_i ] = .

Для каждого i-го варианта решения рассчитываются величины , и в соответствии с рассматриваемым критерием выбирается вариант, для которого достигается

Пример 2.6. Пусть для исходных данных примера 2.1 известны вероятности развития реальной ситуации по каждому из четырех вариантов, образующих полную группу событий:

p₁ =1/2, p₂=1/6, p₃=1/6, p₄=1/6. Выяснить, при каком варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.

Решение. Найдем для каждого i-го варианта решения средний ожидаемый доход: =1/2*5+1/6*2+1/6*8+1/6*4= 29/6, = 25/6, = 7, = 17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска (другое название – критерий минимума среднего проигрыша).

В тех же условиях, что и в предыдущем случае, риск ЛПР при выборе i-го решения является случайной величиной R_i с рядом распределения

ri1	ri2	…	rin
p1	p2	…	pn

Математическое ожидание M[R_i] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также : = M[R_i] = .. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск: .

Пример 2.7. Исходные данные те же, что и в примере 2.6. Определить, при каком варианте решения достигается наименьший средний ожидаемый риск, и найти величину минимального среднего ожидаемого риска (проигрыша).

Решение. Для каждого i-го варианта решения найдем величину среднего ожидаемого риска. На основе заданной матрицы риска R найдем: = 1/2*3+1/6*3+1/6*0+1/6*8=20/6, = 4, = 7/6, ⁼ 32/6.

Следовательно, минимальный средний ожидаемый риск равен 7/6 и соответствует третьему решению: = 7/6.

Замечание. Когда говорят о среднем ожидаемом доходе (выигрыше) или о среднем ожидаемом риске (проигрыше), то подразумевают возможность многократного повторения процесса принятия решения по описанной схеме или фактическое неоднократное повторение такого процесса в прошлом. Условность данного предположения заключается в том, что реально требуемого количества таких повторений может и не быть.

1 Наименование указанного понятия связано с именем итальянского экономиста Вильфредо Парето [1848 – 1923 гг.].