24. Задача коммивояжёра

одна из самых известных задач комбинаторной оптимизации, заключающаяся в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и тому подобное) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и тому подобного. Как правило, указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз — в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов.

Таким образом, возможно несколько вариантов. Например, симметричную задачу можно представить в виде множества ребер  . Каждому ребру   сопоставляется двоичная переменная  , равная 1, если ребро принадлежит маршруту, и 0 — в противном случае. Произвольный маршрут можно представить в виде значений множества переменных принадлежности, но не каждое такое множество определяет маршрут. Условием того, что значения множества переменных определяют маршрут, являются описанные далее линейные неравенства.

Условие кратности: каждая вершина должна иметь одно входное и одно выходное ребро маршрута.

Каждая вершина должна сообщаться через пару ребер с остальным вершинам, то есть, через входное и выходное ребро:

В сумме каждое слагаемое   равно или 1 (принадлежит маршруту) или 0 (не принадлежит). То есть, полученная сумма равна количеству ребер в маршруте, имеющих вершину   на одном из концов. Она равна 2, так как каждая вершина имеет входное и выходное ребро. В приведенном рядом рисунке вершина   показана с входным и выходными ребрами, а ребра маршрута обозначены толстыми линиями. Рядом с ребрами указаны длины  , прилагаемые к указанной выше сумме.

Этими неравенствами определялось дополнительное условие того, что каждое множество вершин   является либо пустым, либо содержит все вершины, сочетающееся с остальным вершинам через минимум два ребра:

для всех множеств вершин  , где  . Эта сумма равна сумме длин ребер маршрута между вершиной   и вершиной  . Чтобы устранить лишние неравенства, можно ограничиться множествами вершин   с минимум двумя и максимум   вершинами. На рисунке рядом ребра   с длинами   обозначены толстыми линиями, остальные ребра имеют длину  . Введение дополнительных условий (2) для множества вершин  , состоящего из трех левых вершин, будет гарантировать, что   сочетается через минимум два ребра маршрута с тремя вершинами справа, чтобы устранить оба цикла. Количество неравенств устранения циклов согласно Данцигу, Фалкерсону и Джонсону равняется  .

Так, каждый вектор с элементами, равными 0 и 1, удовлетворяющий всем неравенствам, определяет корректный маршрут, который является решением переформулированной задачи коммивояжера: вычислить

Поскольку переменные   имеют значения только 0 и 1, сумма равна общей длине   ребер  , принадлежащих маршруту.

Замкнутый и незамкнутый варианты задачи.

В замкнутом варианте задачи коммивояжёра требуется посетить все вершины графа, после чего вернуться в исходную вершину. Незамкнутый вариант отличается от замкнутого тем, что в нём не требуется возвращаться в стартовую вершину.

Незамкнутый вариант задачи сводится к замкнутому путём замены весов дуг, входящих в стартовую вершину, на число 0. Оптимальный замкнутый маршрут коммивояжёра в таком графе соответствует оптимальному незамкнутому маршруту в исходном графе.

Чтобы свести замкнутый вариант к незамкнутому, нужно определить число  , строго превосходящее вес любого маршрута коммивояжёра в заданном графе (например, в качестве   можно взять сумму максимальных по весу дуг, выходящих из каждой вершины, увеличенную на 1). Затем нужно добавить к графу новую вершину   (предполагаем, что вершины исходного графа пронумерованы числами от 0 до  , при этом стартовая вершина имеет номер 0). Стоимости дуг, выходящих и входящих в вершину  , определяются следующим образом:

 при   от   до 

Оптимальный незамкнутый маршрут коммивояжёра в таком графе соответствует оптимальному замкнутому маршруту коммивояжёра в исходном графе и имеет стоимость на   больше.

Метод ветвей и границ.

Можно найти точное решение задачи коммивояжёра, то есть «вручную» вычислить длины всех возможных маршрутов и выбрать маршрут с наименьшей длиной. Однако даже для небольшого количества городов решать задачу таким способом практически невозможно. Для простого варианта, симметричной задачи с  городами, существует   возможных маршрутов, то есть для 15 городов существует 43 миллиарда маршрутов и для 18 городов уже 177 триллионов. То, как стремительно растет продолжительность вычислений, можно показать на следующем примере. Если бы существовало устройство, находящее решение для 30 городов за час, то для двух дополнительных городов требуется в тысячу раз больше времени; то есть, более чем 40 суток.

Задача коммивояжера для трех городов: красная пунктирная плоскость  отсекает все недопустимые решения с максимум одним ребром. Все точки в красном политопе удовлетворяют этому неравенству, и единственная допустимая точка это (1, 1, 1).

Методы дискретной оптимизации, в частности ветвей и границ, позволяют находить оптимальные или приблизительные решения для достаточно больших задач.

В геометрической интерпретации, эти методы рассматривают задачу как выпуклый политоп, то есть многомерный многоугольник в  -мерном единичном кубе  , где   равно количеству ребер в графе. Каждое ребро этого единичного куба соответствует маршруту, то есть вектору с элементами 0/1, что удовлетворяет описанным выше линейным неравенствам. Гиперплоскости, описываемые этими неравенствами, отсекают такие ребра единичного куба, которые не соответствуют ни одному маршруту.

На рисунке рядом показано применение метода для задачи с тремя узлами. В соответствие трем возможным ребрам между вершинами сопоставляются бинарные переменные   и  . В этом случае существует лишь один возможный маршрут, а именно тот, что проходит через три вершины. Этот маршрут удовлетворяет неравенству  , которое утверждает, что маршрут должен проходить через минимум две вершины. Кроме этого маршрута, что соответствует вектору (1,1,1), неравенству удовлетворяют также все точки в отмеченной красным части этого неравенства. Плоскости, проходящие через красные линии, отсекают все углы, отвечающие несуществующим маршрутам с максимум одним ребром, а именно, ноль-вектор (0, 0, 0), единичные векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Сильное неравенство   отсечет от единичного куба все, кроме единственной допустимой точки (1, 1, 1). В этом отдельном случае тот же эффект можно получить тремя неравенствами типа (1).

Для определения допустимого ребра с наименьшей длиной следует решить наборы задач линейной оптимизации, отсекающие секущими плоскостями ненужные части единичного куба и попытаться разделить единичный куб на меньшие политопы методом ветвей и границ.

Однако этого метода для быстрого поиска маршрутов обычно недостаточно. Основное преимущество точных методов заключается в том, что имея достаточно времени, они вычисляют кратчайший маршрут. Имея нижнюю границу для оптимальных решений, можно оценить то, насколько отличается найденный маршрут от оптимального. Например, имея нижнюю границу на уровне 100, и после нахождения маршрута длиной 102, оптимальный маршрут может находиться в пределах от 100 до 102. Так называемый интервал оптимальности, или максимальное относительное расстояние между длиной оптимального маршрута и кратчайшим известным маршрутом составит (102—100)/100 = 2 %, то есть длина найденного маршрута 102 максимум на 2 % отличается от оптимальной. Когда длина вычисленного маршрута равна длине предыдущего, считается, что найденное решение является оптимальным. Для поиска маршрутов приемлемой длины точные методы могут комбинироваться с эвристическими.