12.Постановка общей задачи оптимизации и линейного программирования. Структуризация оптимизационной задачи.

Принятие решения по выбору альтернативы представляет собой сознательный выбор среди имеющихся вариантов или альтернатив направления действий, сокращающих разрыв между настоящим и будущим желаемым состоянием объекта исследования. Альтернатива - один из вариантов выбора. Принятие решений осуществляется с помощью методов оптимизации. Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. 

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы - управляющими воздействиями. 

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

для решения задачи оптимизации необходимо:

а) составить математическую модель объекта оптимизации; б) выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию;

в) установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные;

г) выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения искомых величин. 

В общем виде задача линейного программирования* (в дальнейшем ЗЛП) может быть сформулирована как задача нахождения наибольшего значения линейной функции на некотором множестве D ( Rn, где х ( D удовлетворяют системе ограничений и, возможно, ограничениям.

13.Задача о распределении ограниченных ресурсов (задача оптимального планирования)

Общий смысл задачи о распределении ресурсов — распределить ограниченный ресурс между потребителями оптимальным образом. Рассмотримзадачу о режиме работы энергосистемы. Пусть m электростанций питают одну нагрузку мощности p. Обозначим через   активную мощность, генерируемую j-ой электростанцией. Техническими условиями определяются возможный минимум   и максимум   вырабатываемой j-ой электростанцией мощности. Допустим затраты на генерацию мощности x на j-ой электростанции равны  . Требуется сгенерировать требуемую мощность p при минимальных затратах.

14. Задача об оптимальной корзине продуктов (задачи о диете, задачи о составлении смеси).

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг. 

Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.  В табл. приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:  не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)  не менее 22% белка  (от общего веса смеси)  не более 5% клетчатки (от общего веса смеси )  Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.

Ингредиент	Содержание питательных веществ (кг/ингредиента)			Стоимость (руб./кг)
	Кальций	Белок	Клетчатка
Известняк Зерно Соевые бобы	0.38 0.001 0.002	- 0.09 0.002	- 0.02 0.08	0.4 0.15 0.40

Математическая формулировка задачи. Введём следующие обозначения:  X ₁ - содержание известняка в смеси (кг);  Х₂ - содержание зерна в смеси (кг);  Х₃ - содержание соевых бобов в смеси (кг);

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят: 

20 000 х 0.5 = 10 000 кг. 

Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид: 

0.38X₁ + 0.001Х₂ + 0.002Х₃ ≥ 0.008 х 10 000, 

0.09Х₂ + 0.50Х₃ ≥ 0.22 х 10 000, 

0.02Х₂+ 0.08Х₃ ≤ 0.05 х 10 000. 

Окончательный вид математической формулировки задачи: 

min f(X) = 0.04 x₁ + 0.15Х₂ +0,40Х₃ 

при ограничениях 

Х₁+Х₂+Х₃= 10 000 

0.38Х₁ + 0.001Х₂ + 0.002Х₃ ≥ 80 

0.09Х₂+ 0.50Х₃ ≥ 2200 

0.02Х₂+ 0.08Х₃ ≤ 500 

X_j > 0,  j = 1, 2, 3

Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)

Имеется два вида продукции П₁ и П₂, содержащие питательные вещества S₁, S₂, S₃, S₄ (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.

Таблица 2

Питательные вещества	Число единиц питательных веществ в единице продукции		Необходимый минимум питательных веществ
	П1	П2
S1	1	2	10
S2	3	2	8
S3	2	1	9
S4	2	2	11

Стоимость единицы продукции П₁ и П₂ соответственно равна 3 и 4 д.е.  Решение. Обозначим через х₁ и х₂ – количество продукции П₁ и П₂, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)

F = 3x₁ + 4x₂. (5) 

С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₁, (3x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₂, (2x₁ + x₂) единиц питательного вещества S₃ и (2x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₄. Так как содержание питательных веществ S₁, S₂, S₃, S₄ в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион  , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.  Сформулируем данную задачу в общей постановке.  Обозначим через x_j (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее b_i (i = 1,2,…,m) единиц, a_ij – число единиц питательного вещества s_i в единице продукта j-го вида. Известна стоимость c_j единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.  Экономико-математическая модель примет вид:

F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n→(min) (7)

Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.  Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.  Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

при ограничениях: на общий расход смеси

на питательность смеси

на не отрицательность переменных

x_j≥0, j=1,2,…n, 

где x_j – количество j-го сырья в смеси; 

n – количество видов сырья; 

m – количество питательных веществ; 

a_ij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья; 

b₁ – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси; 

c_j – стоимость единицы сырья j; 

q – минимальный общий вид смеси