76.Система макроскопических уравнений Максвелла. Векторы поляризации и намагниченности. Материальные уравнения и их простейшие примеры.

Первое Максвелла уравнения имеет вид: ,   (1, a)   Второе Максвелла уравнения является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде: ,   (1, б)   Третье Максвелла уравнения выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами): ,   (1, в)   Четвёртое Максвелла уравнения (обычно называемое Гаусса теоремой) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона: ,   (1, г)   Если считать, что векторы электромагнитного поля (Е, В, D, Н) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов B и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотношений (1, а — г) перейти к системе дифференциальных уравнений, справедливых в каждой точке пространства, то есть получить дифференциальную форму Максвелла уравнения (обычно более удобную для решения различных задач): rot , rot ,     div , div .   Здесь rot и div — дифференциальные операторы ротор (см. Вихрь) и дивергенция, действующие на векторы Н, Е, B и D. Физический смысл уравнений (2) тот же, что и уравнений (1).   Максвелла уравнения в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j, которые не являются независимыми. Связь между этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причём D и j выражаются через Е, а B — через Н: D = D (E), B = B (Н), j = j (E).     (3) Эти три уравнения называются уравнениями состояния, или материальными уравнениями; они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определённую форму. В вакууме D º Е и B º Н. Совокупность уравнений поля (2) и уравнений состояния (3) образуют полную систему уравнений. Макроскопические Максвелла уравнения описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды. Максвелла уравнения могут быть получены из Лоренца — Максвелла уравнений для микроскопических полей и определённых представлений о строении вещества путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным интервалам. Таким способом получаются как основные уравнения поля (2), так и конкретная форма уравнений состояния (3), причём вид уравнений поля не зависит от свойств среды.

Вектор электрической поляризации

Вектор поляризации — векторная физическая величина, наведённый внешним электрическим полем дипольный момент единицы объёма вещества, количественная характеристика диэлектрической поляризации.

Обозначается буквой , в СИ измеряется в В/м.

Физическая природа

Диэлектрическая поляризация обусловлена смещением связанных зарядов во внешнем электрическом поле. Если выделить какой либо объём в диэлектрике, то в результате приложения поля на его поверхности могут возникнуть поверхностные электрические заряды . Такие заряды могут возникнуть или благодаря смещению электронной оболочки относительно ядра атома, или же в результате переориентации молекул, которые имеют собственный дипольный момент.

Нормальную к поверхности составляющую вектора поляризации определяют как

где  — орт нормали к поверхности.

Можно ввести вектор электрической индукции , который удобен при описании электрического поля в сплошной среде:

^[1].

[править] Связь с электрическим полем

В основном зависимость между вектором поляризации и электрическим полем, которое обусловило поляризацию, линейна и задается тензором поляризуемости.

.

Определённые вещества могут быть поляризованными при отсутствии электрического поля. К таким веществам относятся пироэлектрики — кристаллические вещества со спонтанной поляризацией и электреты — аморфные вещества, в которых наведённая полем поляризация может сохраняться на протяжении длительного времени.

В случае переменного электрического поля среда может реагировать на изменение поля с некоторым запозданием. В этом случае вектор поляризации в данный момент зависит от напряжённости приложенного электрического поля в предыдущие моменты времени. В таких случаях говорят о временной дисперсии и соотношения между вектором поляризации и электромагнитным полем выглядят как

.

Фурье-образы вектора поляризации и напряжённости электрического поля в таком случае связаны линейным соотношением: , где .

Если электромагнитное поле неоднородно в пространстве, как, например, в случае распространения электромагнитных волн, и взаимодействует с возбуждениями в веществе, которые имеют длину волны порядка длины электромагнитной волны, то значение поляризации в определенной точке пространства зависит от значения напряжённости электрического поля в соседних точках пространства. В таких случаях говорят о пространственной дисперсии (укр.)русск..

.

В сильных электрических полях зависимость между поляризацией и электрическим полем может отличаться от линейной. Явления, которые при этом возникают изучаются, например, в нелинейной оптике.

Намагни́ченность — векторная физическая величина, характеризующая магнитное состояние макроскопического физического тела. Обозначается обычно М или J. Определяется как магнитный момент единицы объёма вещества:

Здесь, M — вектор намагниченности; m - вектор магнитного момента; V — объём.

В общем случае (случае неоднородной, по тем или иным причинам, среды) намагниченность выражается как

и является функцией координат.

Связь между M и напряженностью магнитного поля H в диамагнитных и парамагнитных материалах, обычно линейна (по крайней мере, при не слишком больших величинах намагничивающего поля):

где χ_m называют магнитной восприимчивостью. В ферромагнитных материалах нет однозначной связи между M и H из-за магнитного гистерезиса.

Магнитная индукция определяется через намагниченность как:

(в системе СИ)

(в системе СГС)

Материальные уравнения среды

     Электромагнитные свойства среды в рамках феноменологического подхода проявляются в так называемых "материальных уравнениях среды"

     

 Закон Ома в дифференциальной форме (6.1) содержит в себе величину электропроводности как коэффициент пропорциональности между объемной плотностью тока (движение "свободных" зарядов) и напряженностью электрического поля .

      Уравнения (6.2) и (6.3) описывают зависимость поляризованности среды от напряженности электрического поля и намагниченности среды от напряженности магнитного поля .