80.Четырехтензоры и четырехвекторы в электродинамике.
4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени[1].
Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.
В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:
причём каждый
из индексов принимает четыре значения
(обычно от нуля до трёх или от одного до
четырёх, то есть
итд.
При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так:
,
где
—
матрица
поворота в четырёхмерном
пространстве-времени (матрица группы
Лоренца), а
—
обратная ей.
Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.
Обычно в
физике тензоры одинаковой природы с
разным числом ковариантных и
контравариантных индексов считаются
различными представлениями одного и
того же объекта. Опускание или поднимание
индекса проводится с помощью метрического
тензора
,
например для 4-тензора второго ранга
Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.
Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.
Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.
Определение через 4-потенциал
4-тензор определяется через производные от 4-потенциала[3]:
.
Определение через трёхмерные векторы
4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:
Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.
Сила Лоренца
Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид
,
где
—
4-скорость,
q — электрический
заряд частицы, c — скорость
света, m — масса.
Правая часть этого уравнения — это сила
Лоренца.
4-вектор (четыре-вектор, четырёхвектор) — вектор в четырёхмерном пространстве Минковского. Координаты 4-вектора при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор и преобразуются в соответствии с этим при преобразовании пространственных координат, не затрагивающих временной, то есть при преобразованиях координат, не включающих физического движения новой системы отсчёта относительно прежней.
Свойства
Закон
преобразования четырёхвектора:
,
где
—
матрица из группы
Лоренца —
матрица
перехода
к новым координатам (к новой системе
отсчёта).
Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
Например,
это интервал
(квадрат интервала есть квадрат вектора
перемещения в метрике Лоренца), масса
(масса покоя) — её квадрат есть, с
точностью до постоянного множителя,
квадрат 4-импульса:
и т. д.
Примеры 4-векторов
4-перемещение
,
4-скорость
,
где
—
«собственное
время»,
равное интервалу,
измеренному вдоль мировой
линии.
Геометрически 4-скорость является
единичным
вектором,
касательным к мировой линии частицы.
4-ускорение
,
где
—
см. выше. Геометрически 4-ускорение
является вектором
кривизны
мировой линии частицы.
4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс);
четырёхмерная плотность тока (4-ток)
волновой 4-вектор
Электромагнитный потенциал
