64.Преобразования Лоренца для четырехмерных (релятивистских) векторов – координат пространства-времени, плотностей токов и зарядов, энергии и импульса. Их простейшие инварианты.

Системы координат. Преобразования Лоренца

    Для описания процессов соударения частиц а и b с образованием частиц c_i а + b → а' + b' + c₁ + c₂ + ...+ c_n наиболее часто применяются четыре системы координат:

лабораторная или L-система (ЛАБ);

симметричная или S-система (СИМ):

система центра масс или С-система (СЦМ);

зеркальная или М-система (ЗЕРК).

    В лабораторной системе мишень покоится, т.е. р_b = 0, Е_b = m_bc², а 4-импульсы взаимодействующих частиц будут _a{p_a,E_a/c} и _b{0, m_bс}.     В симметричной системе сумма импульсов вторичных заряженных частиц равна нулю: ∑_зарp_i = 0.     Система центра масс – это система, в которой сумма импульсов сталкивающихся частиц равна нулю: p_а* + Р_b* = 0 (параметры частиц в этой системе будем обозначать знаком *).     Так. эксперименты на встречных пучках (ISR, ЦЕРН) проводятся в системе, близкой к СЦМ (пучки пересекаются под малым углом 15°).     В зеркальной (или антилабораторной) системе покоится налетающая частица, т.е. р_а = 0, Е_а = m_ас². а 4-импульсы сталкивающихся частиц есть _a{0,m_ac} и _b{р_b, Е_b/с}.     Из приведенных выше определений систем отсчета видно их отношение к состоянию движения первичных частиц: в L-системе практически вся полная энергия системы сосредоточена до столкновения на частице а, в М-системе – на частице b, в С-системе сталкивающиеся частицы равноправны, эта система наиболее часто употребляется для описания процесса соударения.     Измерения обычно ведутся в лабораторной системе, а для анализа эксперимента используются другие системы.     Переход из одной системы координат в другую осуществляется с помощью преобразований Лоренца. В физике высоких энергий и физике космических лучей экспериментатор имеет дело со скоростями частиц, близкими к скорости света. Поэтому при переходе от одной системы отсчета к другой нужно пользоваться релятивистскими формулами преобразования в четырехмерном пространстве.     Как известно, релятивистская механика формулируется в четырехмерном пространстве, где сохраняется длина четырехмерного вектора. Другими словами, длина четырехмерного вектора с координатами x,y,z,ct является лоренц-инвариантом. Преобразования Лоренца устанавливают связь между координатами 4-вектора в лабораторной системе (x,y,z,ct) с его координатами в движущейся системе, например С-системе (x*, у*, z*, ct*).     Переход из С-системы в L-систему осуществляется с помощью матрицы

Если А – 4-вектор с координатами {x₁x₂x₃x₄} в L-системе, то А = L^-1A*. где A*{x₁*x₂*x₃*x₄*} – 4-вектор в С-системе.     Аналогичен переход из L-систeмы в С-систeму: А* = L·A,

где – матрица перехода.

    Пусть С-система движется так, что ее скорость vнаправлена вдоль оси х* и совпадает с направлением оси х лабораторной системы. При этом связь координат в L- и С-системах выразится соотношениями

х = γ_с(x* + vt),   y = y*,   z = z*,   ,

где

    Для перевода 4-импульса *(р_x*р_y*р_z*Е*) из С-системы в L-систему

    После применения матрицы L^-1получаем для отдельных компонент 4-импульса следующие соотношения: р_х = γ_с(р_x* + β_cE*), р_у = p_y*, р_z =р_z*.

Е = γ_с(Е* + β_cp_х*).

    Для перевода 4-импульса (p_xp_yp_zE) из L-системы в С-систему применяется матрица L

После этого получим для отдельных компонент 4-импульса: р_х* = γ_с(р_х – β_cЕ),   р_у* = р_у,   p_z* = p_z,

Е* = γ_с(Е – β_cp_х).

4.2. Инварианты лоренцевских преобразований

1. 4-импульс {р, E}, квадрат 4-импульса ² = Е² – р² = m² является инвариантом

Все квадратичные формы 4-импульсов также являются инвариантами.

2.  Инвариант квадрат эффективной массы , для двух частиц:

; ,

если массами m_i, и m_j можно пренебречь.

3.  Недостающая масса к частице с может быть вычислена по формулам

;

4.  Поперечный импульс является инвариантной величиной. Поперечная масса   используется для определения энергии Е_i, и продольного импульса : , , где у_i, – быстрота.

5. Быстрота . При р ≈ Е псевдобыстрота Для этих величин инвариантами являются интервалы Δу и Δη.

     Распределение dσ/dy – инвариант с точностью до переноса системы координат:

dσ/dy     y = y_с + y*; ch y = (e^y + e^-y)/2; sh y =  (e^y – e^-y)/2.

Определение границ изменения быстроты частицы "с" в пределах от y_min до y_mах дастся соотношениями:

6.  Переменные Мандельштама s, t, u являются инвариантами:

s= ( _а+ _b)²; t = ( _a  – _c)²; u = ( _b – _с)².

7.  Инвариантом лоренцевских преобразований является фазовый объем – область фазового пространства, разрешенная законами сохранения. Элемент фазового объема определяется через произведение дифференциалов 4-импульсов частиц. С учетом законов сохранения элемент трехмерного инвариантного фазового объема можнize:

где δ-функция учитывает закон сохранения 4-импульса.

Полный фазовый объем – это интеграл по всем импульсам частиц конечного состояния

Ф(s) = ∫dФ_i.

простейшие инварианты.

где

65.Преобразования Лоренца для электромагнитных полей (в векторном виде). Тензор электромагнитного поля, дуальный тензор и их инварианты.

Явный вид преобразований псевдоевклидовой плоскости

Лоренцевы преобразования псевдоевклидовой плоскости можно записать в наиболее простом виде, используя базис , состоящий из двух изотропных векторов:

Именно, в зависимости от знака определителя , матрица преобразования в данном базисе имеет вид:

Знак числа определяет то, оставляет ли преобразование части светового конуса на месте , или меняет их местами .

Другой часто встречающийся вид матриц лоренцевых преобразований псевдоевклидовой плоскости получается при выборе базиса, состоящего из векторов и :

В базисе матрица преобразования имеет одну из четырёх форм:

где и — гиперболические синус и косинус.

[править] Явный вид преобразований пространства сигнатуры (n-1,1)

Лоренцевы преобразования -мерного псевдоевклидова пространства со скалярным произведением

описываются следующей теоремой.

Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

,

где  — орты, надо разбить на составляющую параллельную скорости и составляющую ей перпендикулярную

.

Тогда преобразования получат вид

,

где  — абсолютная величина скорости,  — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

.

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).

Тензор электромагнитного поля, дуальный тензор и их инварианты.

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

Отсюда также очевидна его инвариантность.

66………