8. Статистичні оцінки для математичного сподівання, дисперсії і моментів
Теорема1
Вибіркове середнє ξ=
є незміщеною і спроможною оцінкою для
мат. Сподівання дослідження вв. ξ
θ=
ξ θ=
θ Отже
– незміщена оцінка для
За
ЗВЧ
–
тобто є спроможно оцінкою для
Теорема
2
Вибіркова дисперсія є зміщеною (не є
незміщеною) оцінкою для
=
-виб.
рисп,
виб.рисп
не є незмін оцінкою для теор дисперсії
але є асимтотично незміщен для
Теорема
3
Нехай
вибірка
з розподілу F(). Нехай q(х) деяка борелева
функція. Якщо
q(
)=G=
(існує)
тоді вибіркове(емпіричне ) значення
є
незміщеною спрамоншою оцінкою для G
Довед.
незміщена оцінка для G. За ЗВЧ
є спроможною оцінкою для G. Мірою похибки
для
Незміщений:
9.Ефективні оцінки. Означення, Лема
Озн.1
Ефективною оцінкою (або оцінкою
мінімальної дисперсії) параметра
назив така статистична оцінка
з класу незміщених оцінок для якої
є найменшою еред усіх незміщених оцінок
(1) Але ефективна оцінка не завжди існує.
Визначемо умови при яких для сімї функцій
розподілу можна вказати нижню межу
дисперсії.
-вибірка,
-одновим. парам.
P(x,
)-
щільність розподілу кожної окремо вв
Вибіока (
)-
це випадковий вектор. Позначемо щільність
цього вектора через f(x,
)=f(
)
Оскільки
– незалежні то (x,
)=f(
(2) Надалі все в неперервному випадку
Озн.2
Функція L(
)=
f(
,
)=
f(
)
називається функцією максимальної
правдоподібності.
Лема
Нехай
і
такі Мат. сподів:
Тоді
Дов.
Оскільки
– щільність в
Умови
леми ще раз дозволять ще раз диференціювати:
0=
Озн.
Функція
називається к-тю інформа-ції за Фішером,
що міститься у вибірці обсягом n.
10.Теорема Крамера-Рао
Нехай
виконуються умови Леми g(
)-диференційована
функція на H і для неї
незміщена оцінка
Крім того:
Тоді
(4) при чому знак рівності має місце
якщо:
Доведення
За
умовою:
Продифиренціюємо під знаком “S” по
:
Наслідки
1.Якщо
g(
)=0,
то теорема К_Р буде Д
(6) 2. Алгоритм дослідження оцінки на
ефективність: - перевірити чи запропонована
оцінка є незміщеною - Перевірити чи
викон умови теореми КР? - перевірити
чи (6) стало рівністю =>
ефективна оцінка; причому перевірка чи
нерівність стане рівністю можна здійснити
за формулою (5). 3. Якщо оцінка ефективна,
то Д
-
достатня умова спроможності оцінки
11.Методи одержання оцінок
h:X->H
Метод моментів(Пірсон)
F(x,
)
Ідея методу моментів: для знаходження
S невідомих треба скласти S рівнянь.
Пропонується прирівнювати перші S
моментів розподілу F тобто теоретичні
моменти із відповідними вибірковими
моментами
-
кількісний теор. мом.
Метод максимальної правдоподібності
Функцію
максимальної правдоп. Вибірки
назив. Функція L(
)=L(
)
яка визначається як f(x,
),
(7)
де f(x,
)
– щільність вибірки (
),
або L(
)=L(
)=P(
,
),
єН
(8) Якщо (
)
дискретний вв. з розподілом P(x,
)=P(
)
В якості оцінки невідом параметрами
слід вибирати ту точку
(
)
в якій функція максимальної правдоподібності
досягає максимума. L(
)=max
L(
)
(9) Зауваження ща функція ln L(
)
буде досягати максимуму в тій же точці
що й функція L(
)
тому часто буде зручніше досліджувати
на максимум саме цю функцію а для цього
шукаємо стац. точки:
Порівняючи знач. Функції в стаціонарних
точках і в границях, знаходимо мах.