6. Вибірковий моменти, зв'язок з теоретичними моментами. Асимптотична поведінка вибіркових моментів

Нехай ξ(𝜔)=( ξ₁… ξ_n) – вибірка, ξ: –незалежні і однаково розподілені з функцією розподілу F(x) позначимо через α_{k ­ ­–} к-ий момент випадкової величини ξ.

Теоретичні моменти	Вибіркові моменти
αk≡ = dF(x) α1=𝜇ξ –мат. сподівання	Ak≡ = к-ий вибірковий момент =
μk≡μ(ξ-𝜇1)k= 𝜇1=0; 𝜇2=Dξ=	A1= ; 𝜇k= = ; = - вибіркова дисперсія

Реальний вибірковий момент

= ; = (залежність ξ:=х)

Лема: Мат. сподівання і дисперсія вибіркового моменту к-го порядку сожна подати через теоретичні моменти, а саме:

𝜇 A_k=𝛼_k ; DA_k=

=(ξ₁,…, ξ_n), ξ_i – незалежність, однаково розподілених вв. = , =

𝜇 A_k=𝜇 = , DA_k=D = = =( )/n.

Теорема: Нехай існує для ξ: α_2k≡ <∞, тоді випадкова величина A_k α_k

(за ймовірністю прямує до невідомого α_k ) P: {|A_k – 𝛼_k|>ε}=0

Дов. За ймовірністю Липунова із існування моментів порядку 2k обов’язково буде випливати що утворюють моменти нижчого порядку. Нагадаємо ймовірність Чибешева для дисперсії: P{|ξ–μ_ξ|≥ε}≤ ; ∀ε>0

За нерівністю Чибишева: P{|A_k–α_k|>ε} = P{|A_k–𝜇A_k|>ε} ≤ = 0

Це і означає що A_k α_k Отже, насправді можна в якості найближчого значення для α_k розглядати реальний вибірковий момент a_k. Теорема: Нехай існують α_m < ∞. Тоді випадкова величина A_k = = – сума незалежних однаково розподілених випадкових величин виду μ = =

= = ( )= ( )

За ЦГТ у формі Лапласа P{ } ≈ Ф(x) – функція розподілу N(0,1) A_k= має нормальний розподіл N(α_k, )

7. Статистика, оцінка, незміщені і спроможні оцінки

Нехай функція розподілу дослідженої випадкової величини ξ належить до деякої множини функцій розподілу {F(x;𝜃); 𝜃 є Θ ϲ } 𝜃=( … )

𝜃 – невідомий, і ми мусимо його знайти маючи лише реалізацію ( … ) вибірки =( … ) визначити (оцінити) 𝜃 за реалізацію це означає поставити у відповідність реалізації ( … ) число 𝜃, тобто нам потрібно побудувати функцію h(∙) визначена на вибірковому просторі із значенням в множині Θ, і тоді ≡ h(ξ(ω))

Озн1: Борелеву функцію h(∙) задану на вибірковому просторі Х ϲ із значенням в множині Θ (множина можливих значень параметру 𝜃) h: X→ Θ називається статистикою, а = h(ξ(ω)) = h( … ) – оцінка невідомого параметра 𝜃.

Для одного і того самого невідомого параметра 𝜃 можна запропонувати багато оцінок. Орієнтуватися будемо на те, наскільки великою є похибка при заміні невідомого 𝜃 на його оцінку . Превагу слід віддавати тим оцінкам, дисперсія яких невелика.

D = – міра розкиду (кількісна)

Озн2: Кількісною мірою похибки при заміні 𝜃 на будемо описувати величиною: μ (*)

μ =

Очевидно, що серед усіх оцінок з однаковою дисперсією найменшу міру похибки буде мати та для якої: =0 або

Озн3: Оцінка називається незміщеною оцінкою параметра якщо

Озн4: Оцінка називається спроможною оцінкою для параметра , якщо

P{| |> }=0, ∀ε > 0, або

Якщо → з ймовірністю «1» то оцінка.

За вказаною вибіркою { } можна побудувати не оцінку а цілу послідовність оцінок

Озн5: послідовність оцінок { } називається асимптотично незалежною послідовністю оцінок, якщо μ (4)

Аналогічно виводиться поняття асимптотично спроможної послідовності оцінки.

Зауваж: Нехай { } – незміщена послідовність оцінка для параметра це означає:

Тоді P{ }=P{| |>ε}≤ ; якщо 0, то оцінка буде спроможною.