6. Побудова імовірнісної моделі експерименту із нескінченною кількістю результатів. Геометричні ймовірності, властивості.

Пр. навмання кидаємо точку на відрізок [a,b]: побудуємо модель даного експерименту:

Ω=[a,b]- нескінченна кількість результатвиду [ α,β) ϲ [a,b]. Отже даний клас це алгебра.

P([α,β)) = ; p( ) = , якщо інтервали [ ) – неперетинні.

Розглядану найменшу – σ-алгебру борелевих множин відрізка [a,b]

(Ω,В,Р) – ймовірнісна модель даного приклада.

Зауваження: Нехай розглядається експеримент, простір Ω якого: Ω с і припустимо що Ω має міру Лебега.

Розглядаємо σ – алгебру F усіх підмножин з Ω що мають міру Лебега, і лише множини σ – алгебри будемо вважати подіями. Тоді

A F : P(A) = (1)

m() – міра Лебега

(1)- означення геометричних ймовірностей

(Ω, F, Р) – ймовірнісна модель даного експерименту

Властивості ймовірності Р( ):

1. ∀ A ∈ F : P(A) ≥ 0

2. P(Ω) = 1

3. P( ) = , ∩ = ∅, i≠j

7. Аксіоми теорії ймовірностей. Імовірнісний простір.

Сформулюємо аксіоми теорії ймовірності виходячи із властивостей частот і ймовірностей, які виникли при аналізі розгляданих моделей:

Ω - простір елементарних подій стахостичного експерименту

Виділимо систему підмножин F Ω і назвемо її F , яка є σ – алгеброю, тобто:

А₁) А ∈ F , Ā ∈ F

A₂₎ Ω ∈ F

А₃) A_i ∈ F , і=1,2,3,…=> F

1. Тільки множини з F є випадковими подіями

2. Кожній випадковій події з F можна поставити у відповідність число Р, яке:

1. ∀ А ∈ F , Р(А) ≥ 0

2. Р(Ω) = 1

3. Р( ) = , A_i ∩A_j = ∅, i≠j

P(A) – називають ймовірністю випадкової події

(Ω, F , Р) – ймовірнісний простір, який є моделлю ∀ СЕ

8) Властивості ймовірності.

1) Р(Ā) = 1 – Р(А) Доведення: Ω = А ∪ Ā; А ∩ Ā = ∅

P(Ω) = P(А ∪ Ā) = P(A) + P(Ā) Наслідок: Р(∅) = 0

2. Якщо А ∁ В => Р(А \ В) = P(B) – P(A) Доведення: B = (B \ A) ∪ A

P(B) = P(B \ A) + P(A) Наслідок 1: A ∁ B: P(A) ≤ P(B)

P(B \ A) ≥ 0 P(B) – P(A) ≥ 0 P(A) ≤ P(B)

Наслідок 2: P(A) ≤ 1 A ∁ Ω => P(A) ≤ P(Ω) = 1

2. Теорема додавання P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) (1) ∀ A, B ∈ F

Доведення: A ∪ B = (A \ A ∩ B) + (B \ A ∩ B) + (A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A \ A∪ B) + P(B \ A ∩B) + P(A ∩ B) = P(A) – P(A ∩ B) + P(B) –

– P(A ∩ B) + P(A ∩ B) Розглянемо деякі події: ∀ A₁, A₂, A₃ ∈ F

P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃) = P(A₁ ∪ A₂) + P(A₃) – P((A₁ ∪ A₂) ∩ A₃) = P(A₁) + P(A₂)+P(A₃)- - P(A_1­ ∩ A₂) – P((A_{1 ­­}∩ A₂) ∪ (A₂ ∩ A₃)) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) – P(A₁ ∩ A₂) – - P(A₁ ∩ A₃) – P(A₂ ∩ A₃) + P(A₁ ∩ A­₂ ∩ A₃)

За методом мат індукції можна вивести формулу додавання для будь-якої скінченної кількості подій А_n.

∀{A_n} ∈ F

P( ) = - ( ) + - …+ (-1)^n-1 P( )

2. ∀ скінченної кількості подій {A_n} ∈ F мають місце твердження:

P( ) ≤ P( ) ≥ 1 - {B_n}

B₁ = A₁ , B₂ = Ā₁ ∩ A₂ , B₃ = Ā₁ ∩ Ā₂ ∩ A₃; B_n = Ā₁ ∩ … ∩ Ā_n-1 ∩ A_n,…

. = {B_n} – послідовність попарно несумісних подій ∀_n : B_n c A_n

P( ) = P( ) = ≤ Властивість 2 => ∀_n P(B_n) ≤ P( ) P( ) = 1 – P( ) = 1- P( ) ≥ 1 -

Зауваження! Якщо послідовність А_n є монотонною послідовністю подій, то P( ) = – властивість певності ймовірності.