2.2 Спектральні характеристики дискретних сигналів постійного і змінного струму

З теорії рядів відомо, що будь-яку неперіодичну функцію складної форми можна в заданому інтервалі від t=0 до t=Т розкласти на гармонійні складові.

. (2.3)

Тут

; (2.4)

; (2.5)

; (2.6)

. (2.7)

Рівняння (2.4) - (2.7), що виражають залежність амплітуди і фази елементарних складових коливань від частоти , називаються рівняннями спектральної густини. Вони дозволяють судити про спектральний характер функції u(t).

Розглянемо застосування інтегралу Фур’є (2.3) до вивчення елементарного сигналу прямокутної форми (рис. 2.1,а). Аналітично сигнал цього виду може бути записаний наступним чином:

(2.8)

Функції спектральних характеристик сигналу знаходяться наступним чином:

; (2.9)

. (2.10)

Скориставшись рівнянням (2.8), отримаємо

. (2.11)

Функція визначає амплітуди гармонічних складових сигналу і завжди має тільки додатне значення. Розкриваючи невизначеність в рівнянні (2.11) при , знайдемо

(2.12)

Позначивши

(2.13)

перепишемо рівняння (2.15) в такому вигляді:

(2.14)

знайдемо відношення амплітуд

(2.15)

За рівнянням (2.15) на рис. 26, б побудований графік. Що визначає відносне значення амплітуди в залежності від відношення .

Рисунок 2.6 - Елементарний сигнал та його амплітудна спектральна характеристика: а) – графік сигналу; б) – спектральна характеристика сигналу

На основі цього графіка можна зробити висновок про те, що амплітуди окремих гармонійних складових в загальному зменшуються по мірі збільшення частоти. Оскільки енергія кожної гармонійної складової пропорційна до квадрату амплітуди, то можна стверджувати, що із збільшенням частоти енергетичне значення складових також зменшується.

Для наглядності на рис. 2.7 приведений. графік залежності відношення потужностей в функції . Його аналіз показує, що по мірі розширення спектру частот, що передаються від нульової частоти до частоти =(1,5  1,6) енергія, що передається швидко зростає і при досягає 88% загальної енергії. При подальшому розширенні спектру зростання цієї енергії поступово сповільнюється.

Оскільки основна частота , що визначається виразом (2.17), обернено пропорційна до тривалості посилань, то з зменшенням останньої ширина частотного спектру, що пропускається лінією зв'язку, повинна зростати.

Рисунок 2.7 - Енергетична характеристика гармонічних складових елементарного сигналу

Рисунок 2.8 - Сигнали змінного струму: а – сигнал постійного струму; б – сигнал після амплітудної маніпуляції; в – те ж; г – сигнал після частотної маніпуляції

Таким чином, смуга частот, що пропускаються лінією зв'язку, повинна відповідати найважливішій частині частотного спектру сигналу і лежати в межах від f = 0 до f = 1,6f₀, де .

У телемеханіці дискретні повідомлення часто передаються сигналами змінного струму певної частоти.

Процес перетворення дискретного повідомлення в сигнал змінного струму отримав назву маніпуляції. Різноманітні варіанти маніпуляції показані на рис. 2.14.

У процесі маніпуляції виникають струми ряду сторонніх частот, які можуть вносити завади в канали інших телемеханічних передач.

Розглянемо застосування інтегралу Фур'є для вивчення сигналу, що представлений імпульсом синусоїдального струму обмеженої тривалості (рис. 2.6, б).

Аналітично сигнал цього виду може бути записаний наступним чином

(2.16)

Скориставшись рівняннями (2.4), (2.5) і (2.6), знайдемо вираз для амплітудної частотної характеристики функції . Після перетворень вираз може бути записаний в наступному вигляді:

(2.17)

де - кратність тривалості імпульсу;

- власна кутова частота сигналу.

Розкриваючи за правилом Лопіталя невизначеність в рівнянні (2.17) при , знайдемо

. (2.18)

Поділивши рівняння (2.17) і (2.18) на і приймаючи до розрахунку тільки додатні значення, будемо мати

; (2.19)

. (2.20)

Рівняння (2.19) і (2.20) дозволяють побудувати спектральні характеристики сигналу для різних значень k. Такі характеристики показані на рис.2.9 для . Нижче приводяться висновки з аналізу цих характеристик.

Дія в колі синусоїдального сигналу обмеженої тривалості еквівалентна дії в тому ж колі великого числа елементарних гармонійних складових неперервного спектру.

Для точного відтворення такого сигналу на виході кола необхідно, щоб це коло забезпечувало проходження по ньому всіх частотних складових.

Рисунок 2.9 - Спектральні характеристики сигналу змінного струму обмеженої тривалості

Енергетичне значення окремих частотних складових спектру сигналу нерівноцінне. Найважливішими складовими частотного спектру є ті з них, які лежать поблизу власної частоти сигналу.

Із зменшенням тривалості дії сигналу, ділянка спектру, яку необхідно передавати по колу, розширюється.

Необхідна ширина частотного каналу (ширина смуги пропускання частот) повинна визначатися виходячи з умов допустимого спотворення сигналу. Якщо прийняти за ширину смуги f різницю частот спектральної густини амплітуд сигналу, що забезпечує проходження амплітуд, що дорівнюють половині максимальної, (рис.2.9), то її значення може бути визначено за наступною приблизною залежністю: .

5