28. Определить кодовое расстояние для следующих кодовых комбинаций: 11100 и 01110; 11011 и 11011.

ПРИМЕР!!!

Для этого необходимо производить сложение по модулю 2 соответствующих элементов (единиц) в табличных записках кода.

(Напомним, что “сложение по модулю 2” обозначается и производится без переноса единицы в старший разряд, т.е. 1 1=0; 1 0=1)

Так, например, если заданы две комбинации 5-разрядного кода (см. предыдущий пример – первые две комбинации)

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0,

то суммируем поразрядно “по модулю 2”, получим:

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

0 0 1 1 1.

Теперь определяем общее (суммарное) количество единиц в результате этого суммирования, которое и будет искомым кодовым расстоянием:

D = 3 (три единицы в сумме по модулю 2)

Далее, используя известную нам формулу для d_min:

получаем Δ = S = 1, что означает:

рассматриваемые кодовые комбинации могут передаваться с обеспечением только обнаружения двукратной ошибки или обнаружения однократной ошибки и исправления ее.

29. Определить избыточность кода Хэмминга для передачи 17 кодовых комбинаций 8-разрядного кода.

ПРИМЕР!!!

Определим избыточность этого кода (в данном примере).

n = 5 (пятиразрядный код) при передаче 4-х комбинаций.

Т.к. комбинаций 4, то для их составления достаточно двух символов, т.е. n₀ = 2. Тогда избыточность .

Обратим внимание на то, что подобный код позволяет исправлять (корректировать) однократные ошибки, и только обнаруживать – двукратные ошибки. Тогда, используя формулу для “хеммингова (кодового) расстояния” d=1+Δ+S, можно определить, что для обнаружения, например, 3-х кратных ошибок и коррекции 2-укратных должно быть d_min=1+3+2=6.

30. Диагностируемая система состоит из 6 последовательно соединенных блоков, вероятности отказов которых равны соответственно: Р=014; 0,16; 0,27; 019; 0,11; 0,12. Используя метод половинного разбиения, составить план выполнения диагностических проверок при условии, что результаты первых двух проверок показали исправность блоков.

ПРИМЕР!!!

Случай P_i const.

Разбиение цепочки узлов системы проводится не на равные числа узлов, а на равные вероятности отказов.

Рис.

Для данного примера число проверок в лучшем случае равно 2 (когда неисправен блок 1), а в худшем равно 4 (когда неисправен блок 6). А если бы использовался метод “время-вероятность”, то в лучшем случае было бы достаточно 1-й проверки, а в худшем случае потребовалось бы все 8 проверок.

Итак, метод “половинного разбиения” оказывается и в этом случае более эффективным.

31. Принята искаженная кодовая комбинация 1000111. Известно, что кол-во информационных разрядов равно 4. Составить контрольное число, определить номер искаженной позиции исходного кода и откорректировать кодовую комбинацию.

ПРИМЕР!!!

Пусть принята искаженная комбинация кода:

0 1 1 1 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 – позиции

Здесь общее число символов n=7, n=n₀+k,

n₀=4 – информационные элементы;

k=3 – контрольные элементы

2. Проверяем на четность соответствующие разряды кодовой комбинации. Количество проверок равно k – в данном случае 3.

а) 1-я проверка. Суммируем единицы по модулю 2 на позициях кода 1,3,5,7.

(Напомним, что “сложение по модулю 2” обозначается и производится без переноса единицы в старший разряд, т.е. 1 1=0; 1 0=1).

Это суммирование дает 1, т.е. нечетное число единиц, следовательно записывается справа – налево на первой позиции кода.

1

7 поз. 6 поз. 5 поз. 4 поз. 3 поз. 2 поз. 1 поз.

Примечание 2: Порядок всех проверок на четность однозначно определен исходной таблицей (справочный материал!) вида:

Номер позиции	Проверяемые позиции кода
1	1	3	5	7	9	11	13	15
2	2	3	6	7	10	11	14	15
3	4	5	6	7	12	13	14	15
4	8	9	10	11	12	13	14	15

Порядок составления этой таблицы будет изложен позже!

б) 2-я проверка. Суммируем единицы по модулю 2 на позициях 2,3,6,7 и получаем четное число единицы, следовательно, результат проверки на четность равен 0, каждый записываем в контрольной строке:

0

1

7 поз. 6 поз. 5 поз. 4 поз. 3 поз. 2 поз. 1 поз.

в) 3-я проверка. Суммируем единицы по модулю 2 на позициях (см. справочную таблицу) 4,5,6,7 и получаем нечетное число единиц, следовательно результат 1(на 3 поз).

Примечание 3: Результаты проверок на четность записываются в виде 0 при отсутствии ошибок (т.е. при четном числе единиц) и в виде 1 при наличии ошибки (т.е. при нечетном числе единиц)

В результате всех трех проверок (4-ю делать бессмысленно, т.к. в справочной таблице 4-я проверка предусматривает работу с разрядами, начиная с 8 и выше, которых у нас нет) получаем контрольное число 101, которое означает в десятичном счислении цифру 5.

Это означает, что в исходном коде 0111000 искажен элемент кода на 5-ой позиции, т.е. подчёркнутая позиция. Следовательно, восстановленная кодовая комбинация имеет вид: 0111100