14. Принципы организации корректирующих кодов. Формула для минимального кодового расстояния, обеспечивающего обнаружение и исправление ошибки.

Разработку этих принципов впервые начал Хэмминг, который предложил код с автоматическим исправлением единичной (!) ошибки в кодовой комбинации.

Формула его работы:

n=n₀+k,

где k – проверочные элементы;

n₀ – информационные элементы.

Причём, автоматическое определение местоположения ошибочного элемента обеспечивается в результате проведения “k” проверок на чётность (т.е. число проверок на чётность равно числу проверочных элементов!).

Рассмотрим подробнее код Хэмминга.

Хемминг ввёл понятие “расстояние d” – это параметр, определяющий различие между кодовыми комбинациями. Например, для двоичного кода расстояние – это число символов, на которые одна кодовая комбинация отличается от другой.

Избыточность кода (обеспечивающая коррекцию кода) количественно определяется выражением:

R = (n - n₀) / n₀.

n₀ – количество информационных элементов достаточных для образования нужного числа комбинаций кода.

Хэмминг показал, что не только обнаружить, но и скорректировать ошибку можно, если увеличить расстояние d до величины:

d_min=1 + Δ + S,

где Δ – кратность (количество) обнаруживаемой ошибки;

S – кратность (количество) исправленной ошибки.

Здесь Δ >= S .

Так, если рассматривать однократные ошибки (Δ=1, S=1), то расстояние d=1+1+1=3 обеспечивает обнаружение и исправление однократной ошибки (либо только обнаружение двукратной ошибки!).

В этом случае ошибочная комбинация будет отличаться от правильной одним символом (при однократной ошибке), а от всех других возможных комбинаций – двумя и поэтому может быть скорректирована.

Коррекция осуществляется автоматическим устройством, выдающим правильную при приеме как неискаженной комбинации, так и искаженной в одном символе.

15. Алгоритм определения кодового расстояния для конкретных кодовых комбинаций при использовании кода Хэмминга. Достоинства и недостатки кода Хэмминга.

Для этого необходимо производить сложение по модулю 2 соответствующих элементов (единиц) в табличных записках кода.

(Напомним, что “сложение по модулю 2” обозначается и производится без переноса единицы в старший разряд, т.е. 1 1=0; 1 0=1)

Так, например, если заданы две комбинации 5-разрядного кода (см. предыдущий пример – первые две комбинации)

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0,

то суммируем поразрядно “по модулю 2”, получим:

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

0 0 1 1 1.

Теперь определяем общее (суммарное) количество единиц в результате этого суммирования, которое и будет искомым кодовым расстоянием:

D = 3 (три единицы в сумме по модулю 2)

Далее, используя известную нам формулу для d_min:

получаем Δ = S = 1, что означает:

рассматриваемые кодовые комбинации могут передаваться с обеспечением только обнаружения двукратной ошибки или обнаружения однократной ошибки и исправления ее.

Определим избыточность этого кода (в данном примере).

n = 5 (пятиразрядный код) при передаче 4-х комбинаций.

Т.к. комбинаций 4, то для их составления достаточно двух символов, т.е. n₀ = 2. Тогда избыточность .

Обратим внимание на то, что подобный код позволяет исправлять (корректировать) однократные ошибки, и только обнаруживать – двукратные ошибки.

Код Хэмминга даёт хорошие результаты по обнаружению и исправлению ошибок, если мала вероятность возникновения “пакета” ошибок, т.е. групповых помех.