Модель парной линейной регрессии: спецификация, условия построения.
1 единственная ОП, 1 результирующая переменная
Пусть
исходные данные представлены выборкой
объема n,
содержащей пары наблюдаемых значений
(xi,
yi),
i
=
Уравнение
парной линейной регрессии для ГС имеет
вид yi
=
,
где х - ОП, у- результирующая переменная,
Е- ошибка регрессии, в0 и в1- параметры
уравнения.
На
основе обработки данных выборочного
наблюдения получают выборочное уравнение
регрессии, которое записывается в виде:
yi
=
+
+
, где
,
-
выборочные оценки коэф в1 и в0 функции
регрессии ГС.
Модель регрессии или уравнение регрессии позволяет количественно оценить взаимосвязь между исследуемыми переменными.
Задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы по данным наблюдений определить такую функцию ỹ = f (x), которая наилучшим образом описывала исследуемую зависимость между переменными.
Модель линейна: по ОП, параметрам и по случайным ошибкам.
При построении нормальной линейной модели парной регрессии учитываются пять условий:
1) факторная переменная xi – неслучайная или детерминированная величина, которая не зависит от распределения случайной ошибки модели регрессии εi;
2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:
3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:
4) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю): Cov(εi,εj)=E(εi,εj)=0 (). Это условие выполняется в том случае, если исходные данные не являются временными рядами;
5) на основании третьего и четвёртого условий часто добавляется пятое условие, заключающееся в том, что случайная ошибка модели регрессии – это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: εi~N(0, G2).
Общий вид нормальной линейной модели парной регрессии в матричной форме:
Y= X* β+ ε,
где
– случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности n x 1;
– матрица значений факторной переменной размерности n x 2. Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу;
– вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности 2 x 1;
– случайный вектор-столбец ошибок модели регрессии размерности n x 1.
Условия построения нормальной линейной модели парной регрессии, записанные в матричной форме:
1) факторная переменная xi – неслучайная или детерминированная величина, которая не зависит от распределения случайной ошибки модели регрессии βi;
2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:;
3) третье и четвёртое условия можно записать через ковариационную матрицы случайных ошибок нормальной линейной модели парной регрессии:
где G2 – дисперсия случайной ошибки модели регрессии ε;
In – единичная матрица размерности n x n.
4) случайная ошибка модели регрессии подчиняется нормальному закону распределения: εi~N(0, G2).