5. Зависимость (независимость) случайных величин. Функциональная и статистическая зависимости. Ковариация и корреляция св. Выборочные и теоретические коэффициенты ковариации и корреляции.

Возможны следующие ситуации:

1. CВмогут быть независимы

2. СВ могут быть связаны строгой функциональной зависимостью

3. Однозначной зависимости нет, каждому значению соответствует множество значений СВ

Зависимость, при которой каждому значению СВ соответствует распределение значений других СВ и заранее неизвестно какое именно значение примет эта СВ называется статистической (или вероятностной, стохастической). Например, зависимость между урожайностью и количеством внесенных удобрений.

Функциональная зависимость – зависимость, когда каждому значению одной переменной соответствует определенное значение другой (например, скорость свободного падения в вакууме в зависимости от времени).

Корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Ковариацией ( или корреляционным моментом) Cov (X,Y) случайных величин Х и У называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, то есть Cov(X,Y)=M[(X-ax)(Y-ay)], где ax=М(х), ay=М(у). Характеризует силу взаимодействия между СВ.

Для оценки тесноты (силы) линейной связи служат коэффициенты ковариации и корреляции.

Пусть х и у – СВ, тогда количественной мерой линейной статистической зависимости между этими величинами называют коэффициент корреляции. =

Пусть имеются выборочные значения совокупности x= {xi}, y= {yi}, i=1,2…n

Для оценки выборочного коэффициента корреляции требуется знать оценки для выборочной ковариации между этими значениями и выборочные дисперсии этих СВ.

Коэффициент ковариации представляет собой математическое ожидание произведения отклонений величин от их мат. ожиданий:

Cov (X, Y) = M[(X – M(X)) (Y – M(Y))].

Если рассматриваемые величины независимы, то коэффициент ковариации равен нулю

Коэффициент корреляции r= = Величина безразмерная. Используется для измерения силы или зависимости между случайными величинами. Чем ближе |r| к 1, тем ближе зависимость к линейной. Количественное определение степени тесноты связи между признаками применяется тогда, когда данные наблюдений выбраны из ГС, в которой статистическая связь между соответствующими признаками линейна, а СВ распределены по нормальному закону.

Выборочный коэффициент корреляции r при достаточно большом объеме выборки n обладает следующими свойствами (так же как коэффициент в ГС):

• -1 r 1, причем чем ближе к -1и 1 тем сильнее линейная взаимосвязь между СВ

• Корреляционная связь может быть прямой или обратной (если 0<r<1 прямая связь, если -1<r<0 обратная связь)

• Если r=±1, то говорят, что корреляционная связь представляет собой линейную функциональную зависимость

• r=0 величины линейно независимы

Значение r	Характер связи
r [-0,3;0)	Практические отсутствует
r [-0,5;-0,3)	Слабая
r [-0,7;-0,5)	Умеренная
r (-1;-0,7)	Сильная