15. Коэффициент детерминации и его значение. Проверка гипотез, относящихся к оценке адекватности регрессионной модели в целом.

Отношение объясненной части дисперсии переменной (у) к общей дисперсииназывают коэффициентом детерминации и используют для характеристики качества уравнения регрессии или соответствующей модели связи. Соотношение между объясненной и необъясненной частями общей дисперсии можно представить в альтернативном варианте:

Коэффициент детерминации R² принимает значения в диапазоне от нуля до единицы 0≤ R² ≤1. Коэффициент детерминации R² показывает, какая часть дисперсии результативного признака (y) объяснена уравнением регрессии. Чем больше R², тем большая часть дисперсии результативного признака (y) объясняется уравнением регрессии и тем лучше уравнение регрессии описывает исходные данные. При отсутствии зависимости между (у) и (x) коэффициент детерминации R² будет близок к нулю. Таким образом, коэффициент детерминации R² может применяться для оценки качества(точности) уравнения регрессии. Значение R-квадрата является индикатором степени подгонки модели к данным (значение R-квадрата близкое к 1.0 показывает, что модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных).

Чтобы проверить достаточно ли высока степень адаптации модели, необходимо проверить гипотезу о значимости R2:

1. Выдвигаются 2 противополож. гипотезы о коэффиценте ДЕТЕРМИНАЦИИ.

а)Но-истинность которой проверяется: Но: R2=0

б)альтернативная гипотеза: Н1: R2не равно 0

2. Рассчитаем R2, для этого вычисли суммы: Sфакт. =

Sобщ. = =>R2= Sфакт./Sобщ.

3. Вычислим выборочное значение проверочной статистики:

4. Зададим уровень значимости альфа и по таблице распределения Фишера установим критическое значение: Fкр (альфа, К1;К2) , К1=м, К2=n-m-1

Применим решающее правило: Если Выборочное значение меньше критического

, то нулевую гипотезу принимаем на уровне значимости альфа (коэффициент детерминации не существенно отличается от нуля) , если же Выборочное значение больше критического, то нулевую гипотезу отклоняем в пользу альтернативной на уровне значимости альфа (т.е.R2 имеет существенное значение и модель регрессии в целом значима на уровне значимости альфа, т.е. хорошо адаптирована к данным наблюдений).

16. Интервальные оценки параметров. Построение доверительных интервалов для параметров модели парной линейной регрессии.

Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал, который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра. Такой интервал называется доверительным, а вероятность – доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки n и от значения доверительной вероятности.

Проверка доверительных интервалов для коэффициентов модели парной линейной регрессии.

Доверительным интервалов для коэффициента b1 функции регрессии называется множество значений [ ], которому с заданным уровнем надежности (1-α) принадлежит истинное значение коэффициента b1 и внутри которого находится сама выборочная оценка .

Здесь d – положительная по знаку статистика, рассчитываемая по формуле:

d= , где – критическое значение t- распределения Стьюдента с (n-2) степенями свободы при уровне значимости α/2

Аналогично доверительным интервалов для коэффициента b0 называется множество значений [ , ], которому с заданным уровнем надежности (1-α) принадлежит истинное значение коэффициента b0 и внутри которого также находится сама выборочная оценка