I.1. Производная, дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и пусть х – произвольная точка этой окрестности. Если  то этот предел наз-ся производной функции f в точке x₀ и обозначается f(x₀). Функция y=f(x), определённая в некоторой окрестности точки x₀, наз-ся дифференцируемой при x=x₀, если её приращение в этой точке y=f(x₀+x)–f(x₀), x=x–x₀ представимо в виде y=Аx+α(x), где А – постоянная и α(x)=o(x) при x→0.

Линейная функция Аx (от x) наз-ся дифференциалом функции f в точке x₀ и обозначается df(x₀) или, короче, dy.Т.о. y=dy+o(x) при x→0, dy=Аx.

Правила дифференцирования: пусть функции y₁=f₁(x) и y₂=f₂(x) имеют производные в точке x₀, тогда: y₁+y₂=f₁(x)+f₂(x) также имеют в точке x₀ производную и (y₁+y₂)´= y₁´+y₂´; y₁y₂=f₁(x)f₂(x) имеют в точке x₀ производную, причём (y₁y₂)´= y₁´y₂+ y₁y₂´, а если y₂0 в x₀, то частное также имеет в точке x₀ производную, причём функция cf(x) (c – постоянная) также имеет в точке x₀ производную, причём (cy)´=cy´.

I.2. Неопределённый интеграл. Основные методы интегрирования.

F(x) наз-ся первообразной функцией f(x) на Х, если  F’(x): F’(x)=f(x), xX.

Семейство всех первообразных на некотором промежутке наз-ся неопределённым интегралом: ∫ f(x)dx=F(x)+C.

Основные методы интегрирования: замена переменной или метод подстановки: пусть определена f(u(x)), xX, где u(x) – диф-ма на Х. Если  ∫ f(u)du=F(u)+C, то  ∫ f(u(x))·u’(x)dx=F(u(x))+C= ∫ f(u)du при u=u(x). интегрирование по частям: пусть u(x) и v(x) – диф-мы на Х. Если  ∫v(x)·u’(x)dx, то  и другой: ∫u(x)·v’(x)dx=u(x)·v(x) - ∫v(x)·u’(x)dx= ∫udv=u·v - ∫vdu.

I.3. Числовой ряд. Сходимость.

Пусть a₁,a₂,…,a_n,…, a_nR,  n=1,2,…. Числовым рядом наз-ся сумма: n-ая частичная сумма. наз-ся сходящимся, если  где Если последовательность частичных сумм расходится, т.е. или предел не существует.

I.4. Криволинейный интеграл. Формула Грина.

Пусть на точках r(s) кривой γ задана некоторая функция F. Тогда криволинейным интегралом I рода от функции F по кривой наз-ся выражение

Криволинейными интегралами II рода от функции F по кривой наз-ся интегралы вида:

Формула Грина: где G – плоская область, γ – её граница, являющаяся кусочно-гладким контуром, область G может быть разбита на конечное число элементарных областей G_i с кусочно-гладкими границами γ_i, в замкнутой области заданы функции P(x,y) и Q(x,y),непрерывные на вместе со своими частными производными γ⁺ – положительная ориентация граничного контура γ.

I.5. Формулы и ряд Тейлора.

Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными до порядка m включительно (m≥1) в δ-окрестности точки (x₀,y₀). Тогда для всех ∆x и ∆y, удовлетворяющих условию  θ=θ(∆x,∆y), 0<θ<1, что справедлива формула

(1) наз-ся формулой Тейлора порядка m–1 для функции f, функция r_m-1(∆x,∆y) в виде (2) – её остаточным членом в форме Лагранжа; если к формуле (2) + (3), то получится остаточный член в форме Пеано.

Рядом Тейлора наз-ся