I.5. Задача Коши для оду. Методы Рунге-Кутта (принцип построения, пример).

Задача Коши для ОДУ:

Пусть у нас есть такое ОДУ с начальными условиями:

Надо найти у(х) на некотором отрезке

Есть численные и аналитические методы решения задачи Коши:

• аналитические: у(х) строится приближённо в виде функции y(x)y_m(x). Это метод Пикара и разложение в ряд Тейлора;

• численные: разбивается на равные отрезки с шагом h, находятся поточечные значения y(x₀), y(x₁), …,y(x_n) и записываются в виде таблицы. Это методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса.

Формулы Рунге-Кутта:

Погрешность формул составляет O(h³).

Также формулы Рунге-Кутта можно представить в таком виде:

где k₁=hf (x,y(x)), k₂=hf(x+₂h,y+β₂₁k₁), … где P_i, _i, β_ij – неизвестны и получены подбором, причём 0 < j < i ≤ q.

II.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Геометр-ий смысл.

Необходимо построить интерполирующий многочлен к некоторой функции. Геометрическим смыслом является то, что интерполирующий многочлен может быть графически представлен как угодно, лишь бы выполнялось главное условие задачи интерполирования: (1), т.е. в известных узлах значение должно совпадать с табличными значениями функции.

В общем виде выглядит так:

Запишем для СЛАУ относительно :

определитель системы: Решим эту систему по правилу Крамера: , где заменяем i^ый столбец на значение f(x_i) Разложим по i^ому столбцу: , тогда:

(2)

где (3) и - алг. дополнение к разложению по i^ому столбцу. (2) должно удовлетворять (1):

(4) Выберем в качест. полином. сист.: (3) имеет ровно n корней, причём корни из (4). Разложим по этим корням:

Найдём A, полагая, что x=x_j : , т.е. Подставим А: Подставим в (2): - это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. Его погрешность: , где и

II.2. Вывод простой и обобщённой формулы трапеции. Погрешность формулы.

Пусть есть интеграл: , чью производную вычислить невозможно, либо вычисление громоздкое и занимает много времени. Тогда f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа.

, где L₁(x) – прямая, а R(x) – погрешность; - простая формула трапеции; - погрешность интерполяции; ; -оценка погрешн.

Получается, что погрешность зависит от длины отрезка. Тогда, чтобы уменьшить погрешность, разобьём отрезок [a,b] на равные части с шагом h:

, где n-1 - количество отрезков.И к каждому отрезку, длиной h применим простую формулу трапеций:

-

обобщённая формула трапеций. Её погрешность:

II.3. Метод хорд для решения нелинейных уравнений. Условие применимости метода, сходимость.

Нелинейное ур-е – это ур-е вида: или нечто схожее. Реш. нелин. ур-я предполагает два этапа: Отделение корня , либо его нахождение; Уточнение корня с заданной точностью

Дано нелин ур-е: f(x)=0, если

, то возможно применение метода хорд для нахождения

Строим хорду, концами которой будут точки: : , находим точку пересечения хорды с ОХ: x₁ Строим Хорду дальше через точки: : , находим точку пересечения этой хорды с ОХ: х₂ . Продолжа построения, получим последовательность точек, каждая последующая из которых выражается через предыдущую: . (1)

Покажем, что, если последовательность сх-ся, т.е. , то -корень ур-я. Для этого в (1) перейдём к пределу: и получим: , т.к. , то ,т.е. будет корнем ур-я, если последовательность сходится. Покажем это: - ограничена на [a,b] и монотонна (из условия применимости метода хорд), следовательно она имеет предел, и как мы уже показали этот предел и будет корнем ур-я.