I.6. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Пусть r – ранг матрицы а R – ранг

• пл-ти П и П₁ пересекаются (по прямой)  r=2;

• П || П₁, но ПП₁  r=1, R=2;

• П = П₁  R=1;

• П и П₁  имеют хотя бы одну общую точку, когда r=R.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть r – ранг а R – ранг

• прямые ₁ и ₂ скрещиваются  R=3;

• прямые ₁ и ₂ пересекаются  r=2, R=2;

• прямые ₁ и ₂ параллельны  r=1, R=2;

• прямые ₁ и ₂ совпадают  r=1, R=1.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Пусть прямая  задана канонич-ми ур-ми: а плоскость П – общим ур-ем: Ax+By+Cz+D=0. Прямая  и плоскость П:

• пересекаются  Al+Bm+Cn  0;

• //ны, но не инцидентны  Al+Bm+Cn = 0, но Ax₀+By₀+Cz₀+D  0;

• инцидентны  Al+Bm+Cn = 0, но Ax₀+By₀+Cz₀+D = 0.

II.1. Формула нахождения обратной матрицы.

^k квадратная матрица A с detA0 имеет обратную матрицу Х: АХ=Е, причём единственную.

Докво. При  j столбец x_j матрицы Х должен удовл-ять условию Ax_j=e_j, где e_j – j-ый столбец единичной матрицы. Подробнее это условие записывается системой лин-ых ур-ий: По правилу Крамера эта система ур-ий имеет единств-ое решение  ^k столбец матрицы Х однозначно определён. Покажем, что ХА=Е. detХ0 и по док-му выше  такая матр. У, что ХУ=Е. Умножим обе части последнего =ва слева на матрицу А. Тогда АХУ=А, откуда в силу АХ=Е  У=А. Значит, матрица Х удовлетворяет обоим условиям: ХА=АХ=Е. Согласно правилу Крамера i-ая неизвестная в системе (1) находится по формуле детерминант матрицы, получаемой из А заменой её i-го столбца на j-ый столбец единичной матрицы. Разлагая  _i по этому столбцу, мы имеем только одно слагаемое, т.к. в e_j только один элемент =1, а остальные – 0.  доп-ый минор эл-та

II.2. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Для совместности СЛАУ Ax=b необходимо и достаточно, что бы ранг её матрицы А был равен рангу её расширенной матрицы (A|b).

Необходимость. Отметим, что ранг матрицы А СЛАУ Ax=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b). Поэтому нам достаточно показать, что ранг матрицы А системы не меньше ранга её расширенной матрицы (A|b). Если система совместна, то, записывая её в векторной форме, делаем вывод, что существуют такие значения неизвестных для которых , где -столбцы матрицы А, b-столбец свободных членов. Это означает, что последний столбец b в расширенной матрице системы является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы А. Для простоты пусть он содержит строки с номерами 1, 2,..к и столбцы с теми же номерами, т.е. Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как для каждого j>k существуют такие , что . Поэтому столбец является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это означает, что М является так же базисным минором и в расширенной матрице (во-первых, он ненулевой, во-вторых, если взять какой-либо минор M’, то либо он будет минором матрицы А, т.е. нулевым, либо он будет содержать столбец b и, следовательно, не может быть ненулевым, так как его столбцы линейно зависимы). Поэтому Rg(A|b)=RgA.

Достаточность. Пусть Rg(A|b)=RgA. Выберем в А базисный минор М (как выше). Тогда он будет базисным и в матрице (A|b). Значит, столбец b можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов : . Пологая получаем решение исходной СЛАУ, поскольку . Это означает, что СЛАУ совместна.