I.3. Первая краевая задача для лоу 2-го порядка. Функция Грина.

Опр. Функцией Грина краевой задачи (1)(2) называется удовлетворяющая условиям 1) по Х при и при

является решением ЛОУ: по Х при удовлетворяющая краевым условиям (2), 4) При имеет разрыв 1-го рода с величиной равной

I.4. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Положение равновесия а наз-ся устойчивым по Ляпунову, если:

•  если то решение  при

• для >0  =(): если то

Это означает, что если в начальный момент времени точка находится достаточно близко к положению равновесия (т.е. величина x⁰–a мала), то и во все последующие моменты времени, двигаясь по траектории, точка будет оставаться вблизи положения равновесия.

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Пусть имеется нормальная система уравнений где А – постоянная матрица, все собственные значения которой имеют отрицательные действительные части, и при и достаточно малом |x|: где  и М – положительные постоянные. Тогда положение равновесия х=0 системы уравнений (1) асимптотически устойчиво.

II.1. Гильберта разрешимости 1 краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Если неоднородная краевая задача (1), (2)

удовлетворяет условиям регулярности (3) и соответствующая однородная краевая задача (1(0)), (2) и имеет только нулевое решение, то решение краевой задачи (1), (2) .

Докво. При доказательстве будем пользоваться формулой диф-ния по параметру , при условии, что .

Проверим, что (4) решение краевой задачи (1), (2). Для этого подставим (4) в (1), (2)

. Подставим в (1) - решение (1) с правой частью.

Подставим (4) в (2(0)) пользуясь (**)

,

Аналогично на правом конце. Доказали, что (4)- решение (1), (2(0)). Докажем единственность краевой задачи (1), (2(0), которая даётся в (4)). - решение (1),(2). , 1) -решение(1(0)); 2) -удовлетворяет (2(0)), следовательно по условиям теоремы

II.2. Теорема о структуре общего решения лин-го ду n-го порядка.

Теорема (о структуре общего решения ЛНУ)

Общее решение ЛНУ n-го порядка

(1)

Док-во:

1. 2.Пусть y=ψ(x)-реш-е L[y]=yⁿ+p₁(x)y^n-1+.+p_n(x)y=f(x),(2),

(1)->(3)

ЛНС с ∆=W(a) не равен 0.

Теорема (о структуре общего решения ЛОУ)

Пусть М - лин. множ.

О. р. ур-я y=Ф(x,c₁,c₂,…,c_n) c непр. на [а,b] коэф. Представимо в виде лин. комбинации в виде ФСР

При любом с_i=const (4)-реш-е ур-я (1),при i=1,n

Докажем общность формулы (4): Пусть y=ψ(x)-реш-е ур-я (1) на [a,b], удовл. усл-ям Коши: Подставим (4) в (5):

Рассмотрим: реш. (1), удовл. (5)

в силу единственности, они должны совпадать

ч.т.д.

II.3.Теорема Пикара и Пеано.

Рассмотрим задачу коши для уравнения 1-го порядка разрешимую относительно старшей производной

Теорема Пикара

Пусть и и удовлетворяет условиям . Тогда , что при всех х в этой окрестности решение у(х) ЗК(1)(2) которая непрерывна, т.е. .

Теорема Пеано

Пусть . Тогда , что при всех х в этой окрестности решение у(х) ЗК(1)(2) которая непрерывна, т.е. .

Докво.

1. Сводим ЗК (1)(2) к интегральному уравнению и доказательство леммы об эквивалентности решения ЗК (1)(2) и получения интегрального уравнения. Интегрируем (1) по . , . Воспользуемся условием Коши (2) : .

Лемма об эквивалентности З.К. (1)(2) и интегрального уравнения (4).

Каждое решение ЗК (1)(2) является решением уравнения (4) и наоборот.

2. Доказываем существование решения интегрального уравнения (4) с помощью метода неподвижных точек. Для Пикара – принцип сжимающихся отображений.

Для Пеано – теорема Шаудера. Запишем уравнение (4) следующим образом: Введём оператор . Решение уравнения (5) называется неподвижными токами оператора F. Основной вопрос заключается в том, какими свойствами должен обладать оператор F, чтобы у него существовала неподвижная точка. Ответ на этот вопрос даёт принцип сжимающихся отображения в условии теоремы Пикара, и теоремы Шаудера в условии теоремы Пеано.

Принцип сжимающихся отображений.

Пусть Х- некоторое банаховое пространство. Есть некоторый шар В радиуса R т.е. - шар в Х и пусть F-отображение удовлетворяющее условию.

1. F-непрерывно. 2. . 3. Отображение F является сжат. . Тогда у отображения F в шаре существует единственная неподвижная точка. Единственность существования неподвижной точки является следствием свойства (3), а именно сжимаемостью оператора F. Проверим условие принципа сжимающихся отображений, при условии, что -удовлетворяет условию теоремы Пикара.

Теорема Шаудера.

Пусть Х- банаховое пространство, и -шар в Х. И пусть F –отображены, удовлетворяют условиям: 1. F-непрерывно. 2. . 3. F-компактные отображения.

Тогда у отображения F существует неподвижная точка в шаре , но она не единственная. Отображение (4)(5) удовлетворяют условиям теоремы Шаудера. В качестве Банахова пространства Х выберем , тогда в Х задаётся как

МАН