II.5. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости графов.

Цикл, содержащий все рёбра графа, наз-ся эйлеровым циклом, а граф, содержащий эйлеровый цикл – эйлеровым графом.

Критерий эйлеровости графов.

Граф G является эйлеровым графом , когда он связан и степени его вершин чётные.

1. Необходимость: Если граф G содержит эйлеровый цикл, то  2 его вершины лежат на этом цикле, т.е. граф – связный и степени его вершин чётные.

Докво. При обходе цикла в ^k вершину “входили” по одному ребру и “выходили” по другому 1,2 или k раз. Значит, степень  вершины чётная. Пусть а₁ – некоторая вершина графа, а_i – смежная ей вершина, которой инцидентно хотя бы одно ребро (а_i,а_j) отличное от (а₁,а_i). Вершине а_j найдётся хотя бы одно инцидентное ребро Построим из этих рёбер цепь, отличая рёбра и не повторяя их. Т.к. граф G – конечный, эта цепь должна закончиться в некоторой вершине а₂. Число рёбер, инцидентных вершине а₂, тоже чётно по условию теоремы, т.е. мы построили цикл Z₁, причём, если в графе G остались неотмеченные рёбра, то среди них найдётся хотя бы одно инцидентное какоё-нибудь вершине на Z₁ (т.к. G – связный). Пусть эта вершина b₁.

2. Достаточность: Пусть G – связный граф и степень  его вершины чётная, то построим эйлеровый цикл на этом графе.

Докво. Начиная из вершины b₁, как и на 1ом шаге, строим цикл Z₂ из рёбер не вошедших в Z₁. Из циклов Z₁ и Z₂ можно построить один новый цикл, проходящий из а₁ в b₁ по части Z₁, затем по всему циклу Z₂, а потом на оставшейся части Z₁. Т.к. граф G конечен, то, совершив конечное число таких шагов, построим эйлеров цикл.

П.6. Теорема о полноте системы булевых функций.

Пусть даны две системы булевых функций и система F полна, если при этом каждую функцию этой системы можно выразить через функции системы G, то система G тоже является полной.

Докво.

т.к. F полная система, то произвольную булеву функцию h(x) можно выразить через функции системы F в виде формулы ; по условию после подстановки получаем: , т.е. произвольную Булеву функцию h(x) можно выразить через функции системы G, значит G-полная (через неё что угодно можно выразить). Данная теорема позволяет расширить список примеров полных систем: 1) , 2) ,

3) , 4)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

I.1. Постановка задачи Коши для оду n-го порядка. Достаточные условия разрешимости

Среди всех решений уравнения найти такое, которое удовлетворяет условию Коши:

, т.е где - заданные действительные числа.

Достаточное условие разрешимости(условие выполнение Липшица по у):

Если в области выпуклый по у ограниченная (область называется выпуклой по у, если она содержит целиком отрезок прямой соединяющий точки принадлежащие этому множеству)

I.2. Линейные уравнения n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Определитель Вронского. Система линейных уравнений.

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка наз-ся уравнение: где a₁(t),…a_n(t), g(t) определены на некотором отрезке [a,b].

Линейное диф-ое ур-ие (1) порядка n сводится к линейной системе первого порядка из n дифференциальных ур-ий: где

Система из n решений уравнения (2), линейно независимых на отрезке [a,b], наз-ся фундаментальной системой.

Структура общего решения ЛОС:

ЛНС: C_i=const,{y_i(x)} – ФСР ЛОС.

Определителем Вронского системы решений y₁(t),…,y_n(t) уравнения называется определитель: