II.3. Перестановки, размещения и сочетания без повторений.

1)Размещение

Пусть упорядоченное подмножество состоящее из к различных элементов множества Х называется размещением из n по к.

Два размещения считаются одинаковыми, если в них совпадают и элементы и порядок их расположения.

Количество всевозможных размещений из n по к . Первый элемент размещения из n по к может быть выбран n способами, 2-й элемент (n-1) способов, 3-й элемент (n-2), к-й элемент (n-к+1) способами. По правилу произведения совокупность к-элементов можно выбрать n(n-1)(n-(k-1))= способов. Умножим и разделим левую часть этого соотношения на (n-к)! т.е. .

Рекуррентное соотношение для размещений.

Докво. Разобьём всё множество размещений на два подмножества - размещения из n по к, которые содержат элемент , -все такие, в которых нет , не содержат его.

В подмножестве количество размещений посчитаем так: на к местах можно расположить к способами, остальные n-1 элементы множества Х на остальных к-1 местах можно расположить способами.

В подмножестве количество размещений можно посчитать как , теперь по правилу суммы всего .

Размещение из n по n – называется перестановки из n элементов. Общее количество перестановок из n элементов обозначается .

2)Сочетание.

Пусть неупорядоченные подмножества состоящие из к элементов (различных) множества Х называется сочетание из n по к. Два сочетания считаются одинаковыми, если они совпадают своими элементами количество всевозможных сочетаний покажем, что . Размещение из n по к можно составить так: выбрать к-элементов, к! способами, затем упорядочить, а значит .

Свойство сочетаний: , , , - это рекуррентное соотношение для размещения.

Докво. разделим обе части соотношения на к!

, .

II.4. Рекуррентные соотношения. Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка.

Общим решением линейного реккурентного соотношения

(3) называется последовательность f(1), f(2).. чисел которая будучи подставленная в исходное соотношение превращает его в тождество. Общее решение зависит от двух начальных условий (f(1)=a,f(2)=b).

Лемма1.

Если последовательность являются решением соотношения , то их линейная комбинация

Докво:

По условию (4) и (5)

Проверим, что тоже является решением (3). Подставим ;

, т.е. получилось тождество лемма доказана.

Лемма2.

Если -корень характеристического уравнения соотношения (3), то последовательность степени ( ) является решением соотношения (3)

Докво.

Представьте в (3) , .

Метод решения линейного реккурентного соотношения 2-го порядка вида (3).

1. Если характеристического уравнение имеет два различных корня, то общее решение соотношения (3) имеет вид здесь задаются в соответствии с двумя начальными условиями.

2. Если характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня, то общее решение имеет вид .

Докво.

т.к. решения характеристического уравнения, то по лемме 2 последовательность степеней и является решением соотношения (3), а по лемме 1, линейная комбинация решения тоже является решением соотношения (3). Осталось показать, что решений другого вида у соотношения (3)нету. т.е. подбирая по начальным условиям можно получить любое решение соотношения (3). Показываем: в соответствии с начальными условиями

, , , т.к. , то для новых начальных условий найдутся: которые определят нужную последовательность решения.