I.3. Рекуррентные последовательности. Последовательность чисел Фибоначчи.

Последовательность, удовлетворяющая соотношению называется линейной рекуррентной последовательностью k-го порядка.

Последовательность чисел Фибоначчи – последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8,…, в которой ^k последующий член равен сумме двух предыдущих, т.е.

I.4. Булевы функции от двух переменных. Способы задания булевых функций.

Функции f(x₁,x₂,…,x_n), у которых аргументы и значения функции являются каким-нибудь элементом из мн-ва {0,1}E₂, наз-ся булевыми.

Чтобы задать булеву функцию необходимо указать какие значения принимает f на ^k из 2ⁿ наборе аргументов.

Способы задания булевых функций:

• с помощью таблицы:

  x1	x2	…	xn-1	xn	f(x1,x2,…,xn)
  0	0	…	0	0	0 или1
  0	0	…	0	1	0 или1
  0	0	…	1	0	0 или1

• в виде формул, например:

• подформул:

I.5. Основные замкнутые классы во множестве булевых функций.

Пусть М – некоторая система булевых функций. Замыканием M ([M]) наз-ся мн-во всех булевых функций представимых в виде формул через функции системы М.

Основные замкнутые классы: T₀ – класс всех булевых функций, сохраняющих нуль, т.е. f(0,0,…,0)=0. Мощность класса: T₁ – класс всех булевых функций сохраняющих единицу, т.е. f(1,1,…,1)=1. S – класс всех самодвойственных булевых функций: М – класс всех монотонных функций: если набор предшествует набору т.е. то пишут L – класс всех линейных функций.

II.1. Биномиальная формула:

или

Докво. Проведём методом мат индукции:

1) Проверим, что формула равна при n=1.

.

2) Проверим, что формула равна при n=k-1.

.

3) Покажем, что формула верна для n=k. Умножим обе части соотношения 2) на (a+b)

II.2. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями.

• Пусть мн-во Х состоит из n₁ элементов a₁, n₂ элементов a₂, …, n_k элементов a_k,

 упорядоченное мн-во Х наз-ся перестановкой с повторениями из n элементов. Обозначается:

Докво. n₁ штук элементов a₁ во мн-ве Х можно расположить n₂ штук элементов a₂ на оставшихся (n–n₁) местах можно расположить n_k штук элементов a_k – По правилу произведения:

• Пусть дано мн-во Размещением из n по k с повторениями наз-ся упорядоченная совокупность k элементов, ^k из которых является каким-либо элементом мн-ва Х.

Докво. Т.к. 1ый элемент k размещений можно выбрать n-способами, 2ой элемент – n-способами, kый элемент – n-способами то согласно правилу произведения

• Пусть дано мн-во Сочетанием с повторениями из n по k наз-ся неупорядоченная совокупность, состоящая из k элементов, ^k из которых является каким-либо элементом мн-ва Х.

Докво. Пусть рассмотрим k сочетаний с повторениями элементов мн-ва Х. где Поставим в соответствие k сочетанию с повторениями А k сочетаний B. которое уже является k сочетанием без повторений из n+(k-1) элементов. Т.о. мы установили взаимнооднозначное соответствие между мн-ми k сочетаний с повторениями из n элементов и k сочетаний без повторений из n+(k-1)элементов, т.е. эти мн-ва равномощные и