II.3. Соотношения между размерностями ядра и образа линейного оператора в конечномерном пространстве.

Пусть V и W-линейные пространства на полем к. Отображение А: называется линейными, если для любых векторов u, v из V и скаляра принадлежащего к выполнены равенства . Пусть А: - линейное отображение. Множество векторов , для которых , называется ядром отображения: . Для любого линейного отображения А: мы имеем

Докво. Известно, что , а по теореме о размерности факторпространства. Приравняем (1) и (2):

II.4. Экстремальное свойство проекции вектора на линейное подпространство.

Пусть U-подпространство евклидового пространства V. Тогда вектор х пространства V единственным образом может быть представлен в виде суммы: (1), где вектор принадлежит пространству U, а вектор ортогонален этому подпространству. Вектор называется ортогональной проекцией вектора х на подпространство , а вектор - его ортогональной (подпространству U) составляющей. Представление (1) – это не что иное, как представление вектора х в виде суммы проекций на подпространства U и , соответствующие прямой сумме .

Расстояние между векторами х и у будем называть длину вектора их разности, то величину . В частности, длина любого вектора х является его расстоянием до нуля векторного пространства.

Теорема. Пусть х произвольный вектор, а вектор у лежит в пространстве U. Тогда расстояние от х до у, то есть длина вектора х-у, является наименьшей, если вектор у равен проекции вектора х на подпространство U. В связи с этим длину вектора называют расстоянием от вектора х до подпространства U.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник, с вершинами х, и у, то есть треугольник образуемый векторами х-у,х- и -у как сторонами. На языке векторной алгебры это означает, что имеет место равенство , причём . По теореме Пифагора: Отсюда следует, что , причём равенство достигается только при

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

I.1. Определение множества. Операции над множествами. Равенство множеств. Включение, строгое включение. Свойства.

Определение Кантора: “множество – произвольная совокупность каких-либо объектов нашего восприятия или интеллекта, определённых и различимых между собой; понимается как единое целое”.

Операции над множествами:

• о бъединение:

• п ересечение:

• р азность:

• симметрическая разность:

• дополнение:

Равенство множеств:

Мн-во А включено в В (АВ) или А является подмн-вом В, если ^k элемент мн-ва А является также элементом мн-ва В (xB xА).

Мн-во А строго включено во мн-во В, если xА и xB yB: yА.

Свойства включения: включение рефлексивно (АА); включение транзитивно, если АВ и ВС, то АС; пустое мн-во является подмн-вом А (ØА).

I.2. Отношения, декартово произведение, отношение эквивалентности. Операции над отношениями. Способы задания отношений.

Упорядоченной n-кой наз-ся набор из n элементов, в котором ^k элемент занимает определённое место.

Декартовым произведением мн-тв X₁,X₂,…,X_n наз-ся мн-во всех упорядоченных n-ок:

 подмн-во декартова произведения наз-ся n-арным отношением между мн-вами X₁,X₂,…,X_n. Отношение , являющееся подмн-вом декартового произведения двух мн-тв, наз-ся бинарным отношением (XY).

Отношение  на мн-ве X наз-ся эквивалентным, если оно одновременно: рефлексивно (если xX выполняется x x); симметрично (если из x y  y x); транзитивно (если из x y и y z  x z).

Операции над отношениями такие же, как и над множествами, + специфические операции для отношений: операция умножения отношений: если АВ, АС, то причём, пара что пара а пара обращение отношений: если АВ, тогда ^–1ВА, причём, пара <x,y>^–1когда пара <y,x>.

Способы задания отношений: графический: если отметить мн-ва значений отношения точками в вертикальной пл-ти, то связь между элементами отмечают стрелками:

Таким способом удобно находить произведение отношений. матричный: если XY, подмн-ва декартового произведения мн-тв X, Y: X={x₁,x₂,…,x_n}, Y={y₁,y₂,…,y_m}, то A_ – матрица, строки которой помечены элементами мн-ва X, а столбцы элементами мн-ва Y. Элементы матрицы A_: