II.4. Метод касательных для решения нелинейных уравнений, условие применимости метода.

Условия применимости: -знакопостояны на . Начальная касательные .

Уравнение касательной в этой точке

(7)пересекает ось ОХ в точках

Подставим (8)в (7) .Проводим касательную через точки , точки пересечения этой касательной с осью ОХ в точке и т.д. . Сходимость метода: все приближения (10) лежат, в силу выпуклости кривой, по одну сторону от , последовательность монотонно убывающая, следовательно, она имеет предел.

Обозначим и покажем, что корень уравнения (1). В (10) перейдём к пределу , -корень уравнения.

II.5. Метод итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость метода.

Пусть дана система уравнений:

или в матричной форме:

Выразим из уравнений , считая, что : где

Или в матричной форме: (1)

Решаем это безобразие методом последовательных приближений – выбираем какой-либо начальный вектор и подставляем его в (1): , затем продолжая подставлять полученные решения в (1), получим последовательность: или . (2)

Условием существования решения построенного таким методом, будет сходимость последовательности, т.е. , причём и будет решением. Условия сходимости: Последовательность, построенная в методе итераций будет сходиться к решению системы при выборе начального вектора , если все собственные числа матрицы по модулю меньше 1, т.е. ; Последовательность, построенная в методе итераций будет сходиться к решению системы при выборе начального вектора , если норма матрицы , т.е. - или Докво: Преобразуем последовательность (2): …

II.6. Одношаговые методы решения задач Коши. Метод Эйлера.

Пусть у нас есть такое ОДУ с начальными условиями:

надо найти у(х) на некотором отрезке [ ]

Разбиваем отрезок: с шагом на равные промежутки. У нас есть значения функции в точках , необходимо найти значение функции в точке.

Разложим в ряд Тейлора в окрестности : , где - погрешность,

Отбросим погрешность:

Геометрический смысл: кривая заменяется ломанной, поэтому точность формулы зависит от того, насколько мелким взят шаг разбиения отрезка.

II.7. Одношаговые методы решения задачи Коши. Формулы Рунге-Кутта.

Пусть у нас есть такое ОДУ с начальными условиями:

надо найти у(х) на некотором отрезке [ ]

Разбиваем отрезок: с шагом на равные промежутки. У нас есть значения функции в точках , необходимо найти -?

Для поиска реш. рассмотрим тождество: или . Заменим в посл. ур-ии интеграл по ф-ам числ. интегр. и получим ф-лы Р-К. Получим вначале ф-лу Р-К по простой ф-ле трапеций: ,т.е. т.к. по усл., то (1), где - порядок погрешности. Отбросим погрешность.

Т.к. неизвестное реш. вошло в правую часть (1), то разрешить (1) относительно не всегда удаётся. Поэтому введём новую переменную: , которое отличается от точного реш. на . Прибавим и отнимем в (1) (без погрешности) : , обозначим через А. Оценим |А|, используя th(о среднем) по у: , т.к. А имеет порядок погрешности, как и (1), то его можно отбросить: - ф-ла Р-К с погрешностью