Численные методы
I.1. Задача теории интерполирования функции. Система функций Чебышева.
Задача
интерполирования
состоит в том, чтобы по значениям функции
f(x)
в нескольких точках отрезка восстановить
её значения в остальных точках этого
отрезка. Если функция f(x)
задана явно, но довольно сложного вида,
то её для дальнейшей работы аппроксимируют
(заменяют) более простой функцией φ(x);
либо f(x)
задана в некоторых узлах x0,..,xn,
и значения f(x0),..,f(xn)
известны, а нужно вычислить f(х),
причём, х≠
хi,
то
прибегают к построению функции φ(x),
которая аппроксимирует f(x)
в х:
φ(x)≈
f(х).
Теорема. Для того, чтобы для набора узлов хi[a,b]: хi ≠ xj , i≠j интерполяционный многочлен {φi(x)} необходимо и достаточно, чтобы система была Чебышева, причём φ(x) будет ! многочленом.
{φi(x)}, заданная на [a,b] образует систему Чебышева на [a,b], если многочлен имеет не более n корней.
I.2. Интерполяционные квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Формулами
Ньютона-Котеса
наз-ся квадратурные формулы интерполяционного
типа, построенные на равномерной сетке,
когда xk–xk-1=h,
Имеем интеграл
Если
f(x)
заменяется интерполяционным многочленом
Лагранжа:
то
получим формулы Ньютона-Котеса. Для
большей точности отрезок [a,b]
разбивается на равные промежутки с
шагом
Различают
такие виды
формул Н-К:
прямоугольников:
левые;
правые;
средние
(самая точная формула). трапеций:
Симпсона:
Формулы Н-К с n≥100 редко используются из-за их численной неустойчивости, приводящие к резкому возрастанию вычислительной погрешности. Причина состоит в том, что коэффициенты формул Ньютона-Котеса при больших n имеют различные знаки.
I.3. Методы итераций для нелинейного ур-ия (хорд и Ньютона).
Метод хорд. Дано ур-ие f (x) 0. Условия применимости метода:
f (a) f (b)<0;
f (x) – значение min;
f (x) – знакопостоянно.
Строим последовательности точек таким образом: строим отрезок между точками и ищем точку пересечения его с ох.
Метод Ньютона. Условия применимости метода те же. Строится касательная вначале к одному из концов отрезка, затем находится точка пересечения этой касательной с ох. Т.о. строится система точек:
В обоих методах эта последовательность точек имеет предел, т.е. сходится если выполнены условия применимости метода, то мы найдём корень нашего уравнения с некой заданной точностью.
I.4. Методы итераций для систем лин. Ур-ий. Условия сходимости.
Пусть дана система уравнений:
или
в матричной форме: Ax=b.
Выразим из уравнений x1,
считая, что
где
ij, ii=0. Или в матричной форме: x=β+x (1).
Решаем
это безобразие методом последовательных
приближений: выбираем какой-либо
начальный вектор х0=β
и подставляем его в (1): x1=
β+x0,
затем продолжая подставлять полученные
решения в (1), получим последовательность:
xk+1=
β+xk
или
Условием
ия
решения построенного таким методом,
будет сходимость послед-ти, т.е.
,
причём
и
будет решением.
Условия сходимости:
послед-ть, построенная в методе итераций будет сх-ся к решению системы при выборе нач-го вектора x0, если все собств-ые числа i матрицы
по модулю меньше 1, т.е. |i|<1.
послед-ть, построенная в методе итераций будет сх-ся к решению системы при выборе нач-го вектора x0, если норма матрицы <1, т.е. ||||<1, где
или
