- •Алгебра и геометрия
- •I.1. Матрицы и операции над ними. Обратная матрица.
- •I.2. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы.
- •I.3. Основная теорема алгебры и её следствия.
- •I.4. Векторы, операции над ними (сложение, умножение на число, скалярное, векторное и смешанное произведения), коллинеарность и компланарность векторов.
- •I.5. Линейная зависимость системы векторов.
- •I.6. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •II.1. Формула нахождения обратной матрицы.
- •II.2. Критерий совместности системы линейных уравнений.
- •II.3. Соотношения между размерностями ядра и образа линейного оператора в конечномерном пространстве.
- •II.4. Экстремальное свойство проекции вектора на линейное подпространство.
- •I.1. Определение множества. Операции над множествами. Равенство множеств. Включение, строгое включение. Свойства.
- •I.2. Отношения, декартово произведение, отношение эквивалентности. Операции над отношениями. Способы задания отношений.
- •I.3. Рекуррентные последовательности. Последовательность чисел Фибоначчи.
- •I.4. Булевы функции от двух переменных. Способы задания булевых функций.
- •I.5. Основные замкнутые классы во множестве булевых функций.
- •II.1. Биномиальная формула:
- •II.2. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями.
- •II.3. Перестановки, размещения и сочетания без повторений.
- •II.4. Рекуррентные соотношения. Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка.
- •II.5. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости графов.
- •I.1. Постановка задачи Коши для оду n-го порядка. Достаточные условия разрешимости
- •I.2. Линейные уравнения n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Определитель Вронского. Система линейных уравнений.
- •I.3. Первая краевая задача для лоу 2-го порядка. Функция Грина.
- •I.4. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
- •II.1. Гильберта разрешимости 1 краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.
- •II.2. Теорема о структуре общего решения лин-го ду n-го порядка.
- •II.3.Теорема Пикара и Пеано.
- •I.1. Производная, дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования.
- •I.2. Неопределённый интеграл. Основные методы интегрирования.
- •I.3. Числовой ряд. Сходимость.
- •I.4. Криволинейный интеграл. Формула Грина.
- •I.5. Формулы и ряд Тейлора.
- •I.6. Примеры разложения функции в ряд Тейлора.
- •I.7. Интеграл Римана и его свойства.
- •I.8. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.
- •I.9. Двойной интеграл. Вычисление интеграла.
- •I.10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная сходимости.
- •II.1. Непрерывные функции. Свойства функций непрерывных на компакте.
- •II.2. Локальный экстремум функций одной переменной. Необходимые условия. Достаточные условия.
- •II.3. Интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница.
- •II.4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия. Достаточные условия.
- •II.5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Необходимые и достаточные условия представления функции рядом Тейлора.
- •I.1. План злп. Опорный план.
- •I.2. Канонический вид злп.
- •I.3. Двойственная злп.
- •I.4. Методы возможных направлений.
- •II.1. Теоремы двойственности в линейном программировании.
- •II.2. Теорема об оптимальности в симплекс-методе.
- •I.1. Переменные, массивы и указатели базовых и производных типов, инициализация, допустимые операции над ними.
- •I.2. Циклы, вложенные циклы, операторы циклов, подготовка и изменение переменных в циклах.
- •I.3. Функции, их определение, формальные параметры, прототипы. Методы передачи информации в функцию и из функции. Проектирование и составление программ модульной структуры.
- •I.4. Классы, секции доступа. Данные-члены, функции-члены, дружественные функции.
- •I.5. Объекты, их массивы, указатели на них.
- •I.6. Конструкторы и деструкторы.
- •I.7. Полиморфизм в программировании. Перегрузка функций, знаков операций. Действия над объектами.
- •II.1. Методика проектирования и составления программ модульной структуры.
- •II.2. Выражения, операции над величинами базовых типов.
- •II.3. Методика программирования простых и вложенных типов.
- •Численные методы
- •I.1. Задача теории интерполирования функции. Система функций Чебышева.
- •I.2. Интерполяционные квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •I.3. Методы итераций для нелинейного ур-ия (хорд и Ньютона).
- •I.4. Методы итераций для систем лин. Ур-ий. Условия сходимости.
- •I.5. Задача Коши для оду. Методы Рунге-Кутта (принцип построения, пример).
- •II.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Геометр-ий смысл.
- •II.2. Вывод простой и обобщённой формулы трапеции. Погрешность формулы.
- •II.3. Метод хорд для решения нелинейных уравнений. Условие применимости метода, сходимость.
- •II.4. Метод касательных для решения нелинейных уравнений, условие применимости метода.
- •II.5. Метод итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость метода.
- •II.6. Одношаговые методы решения задач Коши. Метод Эйлера.
- •II.7. Одношаговые методы решения задачи Коши. Формулы Рунге-Кутта.
II.2. Выражения, операции над величинами базовых типов.
Выражение – один или несколько операндов, соединенных знаком операции.
Операнд – константа, переменная, имя массива, элемент массива, вызовы функций, выражение в скобках, указатели.
Знаки операции – это один или несколько символов, воспринимаемые компилятором как признак той или иной операции.
Различают арифметические, логические, отношения, присваивания.
Каждая операция имеет свой смысл.
Что является операндами операции.
Как выполняется операция
Результат операции (значение и тип)
Арифметические операции – это общепринятые арифметические операции сложения, вычитания, умножения, деления, вычисления остатка от деления, инкремента и декремента.
Ели операнды разных типов, то перед выполнением операции они автоматически приводятся к одному старшему типу.
Операции отношения (реализуют общепринятые математические соотношения между двумя величинами равно, неравно, больше, меньше).
Логические (реализуют отрицание, логическое умножение, логическое сложение)
Условная операция (если условие истинно, то результатом операции будет е1, если ложно, то е2).
Операция запятая (вычисление сначала выражения е1, потом е2, результат будет значение е2)
II.3. Методика программирования простых и вложенных типов.
Цикл – это совокупность операторов, вычисления могут проводиться многократно.
Структура цикла имеет 4 блока: подготовки переменных, прохождение цикла, арифметический блок, блок изменения переменных.
Методика программирования простых циклов: выбор переменных, нахождение рекуррентных формул, составление программы. Переменные присваиваем начальные значения. Затем используем оператор for. Затем идёт арифметический блок, в котором мы расписываем действия, предусмотренные алгоритмом. После этого из текущих значений получаем изменённые для прохождения следующего цикла.
Методика программирования вложенных циклов: выбор основных переменных, нахождение вспомогательных переменных, нахождение рекуррентных формул для основных и вспомогательных переменных , составление программы.
Простой или одинарный цикл – вычислит. процесс, повторяющаяся часть которого зависит от одного параметра. В этом случае цикл содержит величины, изменяющиеся при повторных его прохождениях. Такие величины наз.переменными цикла.
Различают переменные цикла 3 видов – индексированные, простые переменные, для которых нет рекуррентных формул, связыв. текущие их значения со значениями для след. прохождения цикла, и простые переменные, значения которых для след. прохождения могут быть получены из текущих по нек. рекуррентным формулам.
Индексированная переменная – это элемент массива. Каждый элемент массива хранится в отдельном поле памяти. Значения различных элементов массива в общем случае не зависят друг от друга и не могут быть связаны рекуррентными соотношениями.
Простые переменные, для вычисления значений которых невозможно найти рек. формулы, могут формироваться внутри цикла, исходя из их алгоритмов и значений параметра цикла.
Для переменной, для которой можно найти рек. формулу, выделяется поле памяти, где хранится ее значение для текущего прохождения цикла.
Существуют циклы с известным и неизвестным числом повторений (зависит от условий, накладываемых на вычислительный процесс). Проверка выполнения этих условий осуществляется в конце цикла.
Для вложенного цикла: подготовку и изменение переменных целесообразно начинать с самого внутреннего, а затем рассматривать переменные внешнего по отношению к нему цикла и далее расширять изучение всего циклич. процесса. Такое изучение процесса позволит обнаружить ряд вспомогательных переменных, необходимых для подготовки осн. переменных, входящих в заданный алгоритм.
Самому внутреннему циклу придаем нач. значение. Найти для этого значения выражения всех переменных последнего столбца. Последние выражения являющиеся нач. значениями основных переменных последнего столбца. Они могут содержать переменные, зависящие от пар-ров внешних циклов. Эти переменные носят название вспомогательных. Их нужно дописать к переменным соотв. предыдущих столбцов по тому же принципу, что и основные переменные.
Методика подготовки и изменения переменных: анализировать алгоритм циклич. вычислительного процесса и выбирать в соответствии с этим переменные. При этом для них должны существовать рек. соотношения при наращивании параметра самого внутреннего из циклов, от пар-ров которых зависит та или иная переменная. Это основные переменные.
Составить таблицу переменных, записав в столбцах ее заголовка параметры всех циклов от внешнего к внутреннему с их нач. значениями. Затем в первый столбец записать переменные, зависящие только от пар-ра первого внешнего цикла, во второй – от пар-ра первого внутр. и т.д. Привести в таблице для всех переменных их имена. Получить рекур. формулы для изменения переменных (основных и вспомогательных). Записать программу циклов, подготавливая и изменяя в соотв.блоках все переменные.