
- •Алгебра и геометрия
- •I.1. Матрицы и операции над ними. Обратная матрица.
- •I.2. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы.
- •I.3. Основная теорема алгебры и её следствия.
- •I.4. Векторы, операции над ними (сложение, умножение на число, скалярное, векторное и смешанное произведения), коллинеарность и компланарность векторов.
- •I.5. Линейная зависимость системы векторов.
- •I.6. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •II.1. Формула нахождения обратной матрицы.
- •II.2. Критерий совместности системы линейных уравнений.
- •II.3. Соотношения между размерностями ядра и образа линейного оператора в конечномерном пространстве.
- •II.4. Экстремальное свойство проекции вектора на линейное подпространство.
- •I.1. Определение множества. Операции над множествами. Равенство множеств. Включение, строгое включение. Свойства.
- •I.2. Отношения, декартово произведение, отношение эквивалентности. Операции над отношениями. Способы задания отношений.
- •I.3. Рекуррентные последовательности. Последовательность чисел Фибоначчи.
- •I.4. Булевы функции от двух переменных. Способы задания булевых функций.
- •I.5. Основные замкнутые классы во множестве булевых функций.
- •II.1. Биномиальная формула:
- •II.2. Перестановки, размещения и сочетания с повторениями.
- •II.3. Перестановки, размещения и сочетания без повторений.
- •II.4. Рекуррентные соотношения. Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка.
- •II.5. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости графов.
- •I.1. Постановка задачи Коши для оду n-го порядка. Достаточные условия разрешимости
- •I.2. Линейные уравнения n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Определитель Вронского. Система линейных уравнений.
- •I.3. Первая краевая задача для лоу 2-го порядка. Функция Грина.
- •I.4. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
- •II.1. Гильберта разрешимости 1 краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.
- •II.2. Теорема о структуре общего решения лин-го ду n-го порядка.
- •II.3.Теорема Пикара и Пеано.
- •I.1. Производная, дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования.
- •I.2. Неопределённый интеграл. Основные методы интегрирования.
- •I.3. Числовой ряд. Сходимость.
- •I.4. Криволинейный интеграл. Формула Грина.
- •I.5. Формулы и ряд Тейлора.
- •I.6. Примеры разложения функции в ряд Тейлора.
- •I.7. Интеграл Римана и его свойства.
- •I.8. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье.
- •I.9. Двойной интеграл. Вычисление интеграла.
- •I.10. Функциональный ряд. Точечная и равномерная сходимости.
- •II.1. Непрерывные функции. Свойства функций непрерывных на компакте.
- •II.2. Локальный экстремум функций одной переменной. Необходимые условия. Достаточные условия.
- •II.3. Интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница.
- •II.4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия. Достаточные условия.
- •II.5. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Необходимые и достаточные условия представления функции рядом Тейлора.
- •I.1. План злп. Опорный план.
- •I.2. Канонический вид злп.
- •I.3. Двойственная злп.
- •I.4. Методы возможных направлений.
- •II.1. Теоремы двойственности в линейном программировании.
- •II.2. Теорема об оптимальности в симплекс-методе.
- •I.1. Переменные, массивы и указатели базовых и производных типов, инициализация, допустимые операции над ними.
- •I.2. Циклы, вложенные циклы, операторы циклов, подготовка и изменение переменных в циклах.
- •I.3. Функции, их определение, формальные параметры, прототипы. Методы передачи информации в функцию и из функции. Проектирование и составление программ модульной структуры.
- •I.4. Классы, секции доступа. Данные-члены, функции-члены, дружественные функции.
- •I.5. Объекты, их массивы, указатели на них.
- •I.6. Конструкторы и деструкторы.
- •I.7. Полиморфизм в программировании. Перегрузка функций, знаков операций. Действия над объектами.
- •II.1. Методика проектирования и составления программ модульной структуры.
- •II.2. Выражения, операции над величинами базовых типов.
- •II.3. Методика программирования простых и вложенных типов.
- •Численные методы
- •I.1. Задача теории интерполирования функции. Система функций Чебышева.
- •I.2. Интерполяционные квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •I.3. Методы итераций для нелинейного ур-ия (хорд и Ньютона).
- •I.4. Методы итераций для систем лин. Ур-ий. Условия сходимости.
- •I.5. Задача Коши для оду. Методы Рунге-Кутта (принцип построения, пример).
- •II.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Геометр-ий смысл.
- •II.2. Вывод простой и обобщённой формулы трапеции. Погрешность формулы.
- •II.3. Метод хорд для решения нелинейных уравнений. Условие применимости метода, сходимость.
- •II.4. Метод касательных для решения нелинейных уравнений, условие применимости метода.
- •II.5. Метод итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость метода.
- •II.6. Одношаговые методы решения задач Коши. Метод Эйлера.
- •II.7. Одношаговые методы решения задачи Коши. Формулы Рунге-Кутта.
I.7. Полиморфизм в программировании. Перегрузка функций, знаков операций. Действия над объектами.
Обычные знаки операций, как +,-,* и т.д. в С++ предусмотрены для выполнения операций для операндов базовых типов. Введение с помощью классов новых типов данных требует введения и операций над величинами этих типов, над объектами, массивами объектов, указателями на классы.
Для этого по определенным алгоритм и выбранным знакам операций можно составить функции члены-класса или дружественные функции, реализующие эти алгоритмы. В качестве знаков операций удобнее всего использовать те знаки соотв.операций на базовыми данными. Поэтому возникает необходимость в случае операций над объектами общепринятым знакам операций придать новый сходный смысл, т.е. возникает необходимость перегружать знаки операций.
Какой знак операции, как истолковывается при выполнении операции над объектами, описывается с помощью функций класса или друж. функций. Именами функций, перегруж. знаки операций, явл. слово operator с суффиксом в виде перегружаемого знака.:
Тип operator_знак_операции(описание форм.пар-ров) или friend тип operator _знак_операции (описание форм.пар-ров) при составлении перегружаемых операторов нужно иметь в виду, что:
функции-операторы не могут иметь пар-ры по умолчанию;
нельзя изменять предусмотренное стандартом языка количество операндов, приоритет и правила ассоциации операций;
функции-операторы не могут иметь класс памяти static;
если функция-оператор явл. дружеств. или обычной неклассовой функцией, то хотя бы один из форм. пар-ров должен быть объектом типа этого класса, ссылкой или указателем на класс;
запрещается перегружать операции выбора члена субъекта (.), разрешения области видимости (::), разыменования (*), условную (?:) и операцию sizeof.
II.1. Методика проектирования и составления программ модульной структуры.
При модульном программировании для каждой функции определяется алгоритм реализации подзадачи, области допустимых входных и возможных выходных значений, а также возможны побочные эффекты (ошибки). При этом нужно добиваться, чтобы каждая функция не зависела от контекста, в котором она будет использована. При разработке проекта и составлении программ мод. структуры следует придерживаться след. правил:
тщательно проанализировать всю задачу, выделить подзадачи, записать задачи и подзадачи на естественном языке; убедиться, что выбранная схема приводит к решению задачи, каждой подзадаче поставить в соответствие определенную функцию.
Составить функциональную блок-схему решения задачи, представив каждую функцию отдельным блоком; определить имя и тип значений каждой функции, для каждой функции выписать все ее аргументы и полученные ею окончательные результаты; если функция будет использоваться несколько раз, то для каждого вызова под аргументами в виде отдельных строк выписать фактические значения аргументов.
Для каждой функции разбивать аргументы и результаты вычислений на 2 группы: на величины, передаваемые через внешние имена, и величины, определяемые с помощью формальных и фактических параметров; в соответствии с этим за именем функции описать все форм. пар-ры; описать внешние величины.
Проанализировать используемые массивы, их размещение в полях факт. массивов; позаботиться о динамическом размещении в свободной памяти рабочих массивов самой функции и освобождение этой памяти при выходе из функции.
Проанализировать схему обращений функций друг к другу, соблюдение необходимой совместимости форм. и факт. пар-ров.
Найти аргументы всей задачи, т.е. величины, не заданные алгоритмом решения и подлежащие вводу; считать эти величины аргументами головной функции или другой функции по удобству их ввода; обеспечить в соответствующей функции ввод аргументов задачи.
Составить исходную программу, записав команды препроцессора, описав прототипы функций, внешние объекты, а затем и все функции, приводимые в произвольном порядке.