I.1. План злп. Опорный план.

ЗЛП задаётся в виде:

где f(x) и f_i(x) – линейные функции, f(x) – целевая функция, (*) – ограничения задачи.

Точка х, удовлетворяющая ограничениям ЗЛП, наз-ся планом ЗЛП.

План х, на котором достигается maxое (minое) значение целевой функции, наз-ся оптимальным планом.

План х, для которого вектора P_j, соответствующие нулевым компонентам этого плана образуют линейную независ-ую систему, наз-ся опорным планом. Т.к. вектора P_j m-мерны, то опорный план не может содержать более m ненулевых компонентов.

Опорный план х, содержащий ровно m ненулевых компонент, наз-ся невырожденным опорным планом (в противном случае – вырожденным).

I.2. Канонический вид злп.

наз-ют каноническим видом ЗЛП. Причём, max Cx  –min (–Cx).

Необходимо уметь приводить задачи к каноническому виду, чтобы иметь возможность применять теоремы о возможном улучшении плана, об оптимальности плана и т.д.

I.3. Двойственная злп.

Если ЗЛП поставлена в виде: исходная задача, то ей можно поставить в соответствие двойственную: двойственная задача

Данную пару задач наз-ют парой несимметричных двойственных задач, для которой справедлива теорема двойственности.

I.4. Методы возможных направлений.

Общая идея методов возможных направлений. Задача нелинейного программирования без ограничений относятся задачи вида не линейная функция.

В методе всевозможных направлений строится последовательность , которая генерируется по правилам: , где , а множество I задаётся априорно, по правилу при некоторых реализациях методов возможных направлений множество I может задаваться в виде и т.д.

Во всех методах задаётся множество точек и при расчёте покоординатно т.

проверяется , если да объявляется решением, в противном случае указанным выше способом считается точка

II.1. Теоремы двойственности в линейном программировании.

Пусть ЗЛП поставлена в виде:

исходная задача. Поставим в соответствие исходной задачи двойственную задачу:

двойственная задача. Данную пару задач наз-ют парой несимметричных двойственных задач, для которой справедливы теоремы двойственности.

Теорема 1. Если одна из задач имеет решение, то и вторая задача имеет решение. Причём, оптимальные значения целевых функций в исходной и двойственной задачах совпадают, т.е. min Cx = max Wb.

Теорема 2. Если целевая функция одной из задач неограниченна (исходная снизу, двойственная сверху), то вторая задача планами не обладает.

Д

окво 1. Предположим, что дана исходная задача и пусть она решена симплекс-методом и имеет решение. Тогда предположим, не ограничивая общности проводимыми рассуждениями, что на месте векторов P_j ( ) в последней симплекс-таблице:

Матрица получена из матрицы А линейными преобразованиями. Обозначим через F матрицу искомого преобразования:

Обозначим через B матрицу, состоящую из векторов P₁,..P_m, выбранных в матрице А. Тогда очевидно, что F – такая матрица, что: (единичная матрица) =>

Пусть вектор х^о состоит из первых m компонент оптимального плана, тогда:

Запишем условие оптимальности в матричном виде: Введём формально в рассмотрение величину Покажем, что Wº – план двойственной задачи. Для этого подставим

=> Wº – план двойственной задачи.

Покажем, что значение целевой функции двойственной задачи на плане Wº = оптимальному значению целевой функции исходной задачи. Действительно: где Сº - вектор, состоящий из компонент вектора С, находящийся в последней симплекс-таблице в столбце С.

Покажем, что Wº - оптимальный план двойственной задачи (от противного). Пусть  такой план двойственной задачи т.е. Wº не является оптимальным планом двойственной задачи => по показанному ранее

Подставим оптимальным план исходной задачи в ограничения этой задачи. Первое ограничение умножим на второе – на –на Получим:

Слева перегруппируем слагаемые относительно

Т.к. – план двойственной задачи => он удовлетворяет ограничениям двойственной задачи. Тогда в полученном выражении ^k скобку можно оценить сверху, т.е.:

Заменим ^k скобку полученного выражения на соответствующее ей С_i , получим: Откуда: что противоречит предположению о ии такого вектора , что Тем самым мы доказали в первой части теоремы двойственности ие оптимального плана двойственной задачи при условии ия оптимального плана исходной задачи и равенство оптимальных значений целевой функции. В случае, когда дана двойственная задача, докво проводится аналогично.

Докво 2. От противного. Предположим, что целевая функция исходной задачи неограниченна снизу, но двойственная планами обладает. Пусть обладает хотя бы одним планом х => удовлетворяет ограничению: W·A ≤ С, умножим справа на х: W·A·х ≤ С·х. Т.к. A·x = b => W·b ≤ –. В случае, когда целевая функция двойственной задачи неограниченна сверху, но исходная планами обладает, доказывается аналогично.