II.1. Непрерывные функции. Свойства функций непрерывных на компакте.
Def:
Компакт К
в метрич. пр-ве (х,ζ),
если из
послед.
элементом этого множ можно выделить
послед., кот. сх-ся к эл-ту из этого множ
K –явл. комп.<=>, когда оно ограничено и замкнуто..
Def:.
Функ. f
наз. непр в т. х0єR,
если она определена в нек. U(x0)
и
Т. Вейерштрасса (1)
Если f(x)єC[a;b] , то она ограничена на [a;b].
Док-во: Пусть f(x) не является ограниченной на [a;b]
В
результате построили посл. xn
то
{xn}-огранич.,
потому по теореме Больц-Вейерштр. можно
выделить сход. послед.:
из
(*):
В точке С
функ. непрерывна, то по определению
непр. на отрезке послед.:
ч.т.д.
Т. Вейерштрасса (2)
Всякая непр. на [a;b] ф-ция доcтигает на [a;b] своего sup и inf.
Док-во
Т.к.
f(x)
по 1 т.В.-ограничена на [a;b],
то по теореме о
sup
-
точная
верхняя грань:
Предположим, что
Введем
вспомогательную функ.
ч.т.д.
Эта функ. определена и непрерывна на [a;b] . Значит по 1 т. в
значит
φ(xE)
неограниченная сверху на [a;b]
противоречие.
И 1 и 2 теоремы явл. достаточными условиями.
Т. Больцано-Коши (0 Промежуточное значение)
Если f(x) непр. на [a;b], то она принимает все значения между значениями на концах.
Если
f(x)єС[a;b],
и
f(a)=A,
f(b)=B
между
А
и В
найдется т. ξ
из [a;b];
f(ξ)=C
Док-во
(основано
на принципе Кантора-т. о влож. отрез.)
Пусть А<B
Разделим [a;b]
пополам
и из 2-х половинок выберем ту, которая
значение на левом конце меньше, чем
значение на правом. И чтоб С
лежало между ними.
Разделим этот отрезок еще пополам:
и
т.д. В результате построения мы либо
получим эту точку f(ξ=C),
либо продолжая этот процесс неограниченно,
мы получим с-му вложенных друг в друга
отрезков по длине→0.
Перейдем
в нер-ве (*) к lim≠∞.
II.2. Локальный экстремум функций одной переменной. Необходимые условия. Достаточные условия.
Пусть f (x) определена на (a,b), т.х0(a,b) – внутренняя точка. Точка х0 наз-ся точкой локального max-ма (min-ма), если:
Т. лок-го max-ма (min-ма) наз-ся точками локального экстремума.
Необх. условие лок. экстремума. Если т.х0 – т. лок. экстремума и f (x0), то f (x0)=0.
Докво. Если т.х0 явл-ся т. лок. экстремума для f, то такая окрестность U(x0,), что значение f(x0) будет наибольшим или наименьшим на этой окрестности. Поэтому, если в т.х0 производная, то она по теореме Ферма = 0.
Замечание 1. f (x0)=0 явл-ся только необх. условием, а не дост-ым, что показывает пример: f (x0)=х3, f (0)=0, х=0 – не явл-ся т. экстремума.
Замечание 2. Функция может иметь лок. экстремум также в тех точках, в кот-ых производной не . Пример: f (x)=|x|, x=0 – точка min.
Дост.
условия лок. экстремума.
Пусть 1)
т.е.
f
диф-ма
в некот-ой окрестности т. x0;
2) f
(x)
непр-на в т. x0.
Если:
Докво. Рассм-им случай f (x)>0 для x<x0 и f (x)<0 для x>x0, где x окрестности т. x0, указанной в условиях теоремы. По теореме Лагранжа: f=f (x) – f (x0)= f (ξ)(x – x0), где ξ лежит на интервале с концами x0 и x.
Если x<x0, то x–x0<0 и f (ξ)>0, т.к. x<ξ<x0. Если x>x0, то x–x0>0 и f (ξ)<0, т.к. x0<ξ< x. Т.о. всегда f<0, т.е. т.x0 явл-ся точкой строгого max. Аналогично рассм-ся 2ой случай.