Алгебра и геометрия

I.1. Матрицы и операции над ними. Обратная матрица.

Матрица m×n – это таблица чисел, в которой m-строк и n-столбцов.

Основные операции над матрицами: Сложение матриц: Умножение матрицы на число: Умножение матриц:

Трансп. матриц: ,A^–1 наз-ют обратной матрицей к матрице А, если AA^–1=A^–1A=E.

I.2. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы.

Лин-ое преобразование – лин-ое отображение, которое отображает пр-во само в себя. Отображение А: наз-ся линейным, если для  векторов x и y из  и  числа  выполнены равенства:

Матрицей лин-го преобраз-ия А:   в базисе e=|e₁…e_n| наз-ся матрица, столбцы которой – координатные столбцы векторов A(e₁),…,A(e_n) по базису e. Матрица преобр-ия имеет вид: A=S^–1AS, где S – матрица перехода.

Ненулевой вектор х, удовлетворяющий условию Ах=х (3), наз-ся собственным вектором преобразования А. Число  в равенстве (3) наз-ся собственным значением.

I.3. Основная теорема алгебры и её следствия.

Если f (x) многочлен с компл. коэф-ми и степень этого многочлена deg f 1, то С, f ()=0, f (х)С.

Следствие 1. deg f (х)=n1, f (₁)=0, f (х)=(x–₁)g(х), g(х)=n–1.  ₂: g(₂)=0, g(х)=(x–₂)h(х), f(х)=(x–₁)(x–₂)h(х). Продолжая процесс, получим: f(х)=а₀(x–₁)(x–₂)(x–_n), где а₀ – старший коэффициент f(х). Следствие 2. f(х)= а₀(x–β₁)(x–β_s), где β₁,…, β_s – набор попарно различных корней многочлена f(х), k₁+…+k_s=n, k_i – кратность корня β_i. Если k_i>1, то корень наз-ся кратный, если k_i=1, то корень наз-ся простым, если k_i=0, то он наз-ся корнем кратности нуль.

I.4. Векторы, операции над ними (сложение, умножение на число, скалярное, векторное и смешанное произведения), коллинеарность и компланарность векторов.

Вектор – направленный отрезок или упорядоченная пара точек. Векторы наз-ся коллинеарными, если  прямая, которой они //ны. Векторы наз-ся компланарными, если  плоскость, которой они параллельны.

Операции над векторами: Сложение: Умножением вектора а на вещественное число  наз-ся  вектор b, удовл-щий условиям: |b|=|||a|; вектор b колинеарен вектору а; векторы b и а направлены одинаково, если >0, и противоположно, если <0 (если =0, то b=0). Скалярное произведение: (a,b)=|a||b|cos ; Пусть даны вектора a и b, по ним построим вектор с, который назовём векторным произведением векторов a и b (обозначается [a,b]), удовлетворяющий условиям: |c|=|a||b|sin , где  - угол между a и b; вектор с ортогонален векторам a и b; если a и b не коллинеарны, то a,b,c образуют правую тройку векторов. Число (a,[b,c]) наз-ся смешанным произв. векторов a,b,c и обозначается (a,b,c).

I.5. Линейная зависимость системы векторов.

Система векторов наз-ся линейно зависимой, если ют элементы поля (числа), не все равные 0, чтоб выполнялось соотношение Свойства линейной зависимости:

• если подсистема некоторой системы зависима, то и вся система зависима;

• если в системе содержится вектор, то зависима;

• если в системе есть 2 коллинеарных вектора, то она зависима;

• если система векторов зависима, то один из векторов – линейная комбинация остальных.