49

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Факультет прикладної математики та інформатики

Кафедра математичного моделювання соціально-економічних процесів

Допущено до захисту

Завідувач кафедри

___________________

Проф.. Цегелик Г.Г.

«___»_________2007р.

Дипломна робота

Моделювання та розрахунок задачі пружності методом скінченних елементів за допомогою пакету FEMLAB 3.3

Науковий керівник

асистент Коркуна А.М.

Виконав

студент групи ПМС-51с

Звір Сергій Володимирович

Львів – 2007

Вступ 3

1 Постановка крайової задачі 6

1.1 Постановка проблеми 7

1.2 Фізична постановка 8

1.3 Математична постановка 9

2 Варіаційне формулювання крайової задачі 17

2.1 Вибір варіаційного принципу 17

2.2 Варіаційна постановка задачі. 19

3 Метод скінченних елементів 20

3.1 Теоретичні основи методу скінченних елементів 20

3.2 Алгоритм чисельного розв’язування варіаційної задачі. 21

3.3 Тетраедні скінченні елементи з лінійними та квадратичними апроксимаціями. 24

4 Чисельна реалізація математичних моделей 28

4.1 Огляд програмного комплексу Femlab 3.3 28

4.2 Побудова та розв’язування моделей з використанням 30

Femlab 3.3 30

4.3 Аналіз результатів 44

Висновки 46

Список використаних джерел 47

Вступ

На сьогоднішній день стало звичним досліджувати математичні моделі, що описуються крайовими задачами, інтегральними рівняннями і т. д. за допомогою методу скінчених елементів. Теоретичні основи та практичне використання цього методу для рівнянь пружності відображені в працях Галлагера Р. [4], Образцова І. Ф. [8], Шинкаренка Г.А. [16], Савули Я.Г. [9], Зенкевич О. [12] та інших вчених.

Метод скінчених елементів базується на варіаційних постановках математичних задач, на використанні базисних функцій і приводить до необхідності розв’язування “великих” систем лінійних алгебраїчних рівнянь спеціальної структури. При цьому ефективним є використання комп’ютера.

Пакети і комплекси програм, які реалізують метод скінчених елементів для певних класів задач, посідають важливе місце серед програмного забезпечення сучасних ЕОМ.

З існуючого розмаїття програмних продуктів можна виділити пакет Femlab 3.3 (FEM – Finite Elements Method – метод скінченних елементів) – потужне інтерактивне середовище для моделювання і розв’язування наукових і технічних проблем, які базуються на диференціальних рівняннях часткових похідних (PDE) із застосуванням скінченноелементних методів (FEM).

В наш час математичне моделювання та метод скінченних елементів широко використовуються для визначення величини напружень, що виникають при протезування зубних рядів з використанням дентальних імплантатів.

На сучасному етапі великого значення набуває використання імплантатів при відновленні функції жування у випадках повної відсутності зубів на одній або обох щелепах у зв'язку з тим, що проблема надійної фіксації зубних протезів на щелепах дотепер не вирішена.

Т ерміни "імплантат", "імплантація", запропоновані Знаменським Н.Н. , і в даний час мають на увазі застосування предметів певної форми, виготовлених з небіологічного матеріалу, що вводять в організм для виконання яких-небудь функцій протягом тривалого часу.

Зубний імплантат – штучна опора, що вживлюється в кістку верхньої або нижньої щелепи, і служить основою для коронки чи протезної конструкції.

Дентальні імплантати бувають:

1. Циліндричні

2. Гвинтові

Зубний імплантат складається з двох основних частин – власне самого імплантату й абатмента. Абатмент – це сполучна ланка між імплантатом і зубним протезом .

[1] - коронка імплантата

[2] – абатмент

[3] – імплантат

Операція протезування за допомогою зубних імплантатів здійснюється в три етапи. На першому етапі гвинт-імплантат вставляється в щелепу хірургічним шляхом. Після періоду загоєння до гвинта-імплантату приєднується абатмент. Це другий етап операції. Потім відбувається процес, що називається «остеоінтеграція», при якому відбувається «зрощування» системи імплантату і кістки. Можна сказати, що імплантати стають частиною щелепи. На третьому етапі виготовляється і приєднується до системи зубний протез.

У світовій стоматологічній практиці одним з найбільш розповсюджених матеріалів, що застосовуються для виготовлення стоматологічних імплантатів (гвинта і абатмента), є титан і сплави на його основі. Титан характеризується високою міцністю, стійкістю проти корозії, але головне - він є нейтральним для організму і не викликає алергійних реакцій і реакцій відторгнення.

Незважаючи на те що дентальні імплантати вже довший час застосовуються для реабілітації пацієнтів з частковою чи повною відсутністю зубів, все ще зустрічається така проблема протезування, як злам компонентів імплантата. Причиною невдач найчастіше є те, що в процесі функціонування зубо-щелепної системи імплантат зазнає значних навантажень, які передаються на опорну кістку. Недосконалість фізико-механічних властивостей матеріалу, з якого виготовлено імплантат, а також нераціональне протезування призводить до виникнення ділянок надмірної концентрації напружень в кістці, які перевищують поріг ії фізіологічної міцності. Такі нефізіологічні навантаження призводять до резорбції (руйнації) кістки і, в кінцевому результаті, до втрати імплантату.

Отже, застосування внутрикісткової імплантації далеко не завжди приводить до стійкого і гарантованого успіху. При цьому відсоток незадовільних результатів її застосування за даними різних авторів коливається від 7% до 10% [11].

Моделювання процесів взаємодії дентальних імплантатів і кісткової тканини альвеолярних відростків щелепи та визначення пружного стану таких систем дає змогу провести раціональний вибір протезної конструкції на імплантатах у залежності від структури кісткової тканини щелепи хворого.

Проведені різними авторами дослідження показали можливість і перспективність використання математичного моделювання для вивчення розподілу напруження кісткової тканини в області імплантації [3, 15].

Матвеева та спів., [7], за допомогою математичного моделювання в пакеті Ansys, вивчали просторове моделювання напрямків встановлення імплантатів на верхній щелепі. Такий підхід, на думку авторів, дозволяє робити правильний вибір протезної конструкції та уникати ускладнень, викликаних особливостями розподілу функціонального навантаження на кісткову тканину, яка оточує імплантат, та підвищити ефективність ортопедичного лікування в цілому.

Подібні дослідження, з використанням методу скінченних елементів, про розподіл навантажень кісткової тканини в зоні одиночного гвинтового чи циліндричного імплантату проводились і іншими авторами [7].

У роботах [18, 19] представлені результати дослідження за допомогою скінченноелементної моделі розподілу напружень в кістковій тканині навколо блокованої системи з чотирьох та шести імплантатів з використанням пакету “Nisa” та трьох імплантатів з використанням програмного забезпечення “PATRAN”.

Проте вищезгадані приклади математичного моделювання не враховували ні кількість імплантатів, ні місць їх розташування. Адже для чисельного аналізу виділялася локальна частина щелепи, що містить інтегрований в неї імплантат чи декілька імплантатів.

Отже, проблема визначення потрібної кількості та довжини імплантатів на кінцях щелепи і посередині для нормального функціонування протезної конструкції при повній відсутності зубів, є актуальною в наш час та потребує досліджень, а саме з використанням математичного моделювання.

1 Постановка крайової задачі

1.1 Постановка проблеми

Метою даної магістерської роботи є вивчення впливу геометричних характеристик та пружних властивостей тіл на напружено-деформований стан конструкції. А саме, визначення оптимальної кількості імплантатів, в залежності від їх типу: гвинтового чи циліндричного, та їх розмірів для кращого функціонування незнімної ортопедичної конструкції при заміщенні повних дефектів зубних рядів незнімною конструкцією з опорою на імплантати.

Для цього формулюємо постановку нашої задачі:

Дано кісткову тканину, в яку вживлені імплантати навантажені протезною конструкцією. Знайти мінімальну кількість імплантатів у бічній ділянці щелепи, для того, щоб кісткова тканина мала найменші руйнування.

На протезну конструкцію діють рівномірно розподілені навантаження.

Необхідно дослідити напружено-деформований стан у всіх точках системи, як кісткової тканини так і протезної конструкції, при варіюванні геометричних характеристик окремих компонент.

1.2 Фізична постановка

Вважається, що система „імплантат – протезна конструкція – кісткова тканина” є деформівним твердим тілом, яке складається з частин, де – кількість імплантатів (рис. 1.1)

1. протезної конструкції

2. навантажених нею імплантатів гвинто-вого чи циліндричного типу

3. двох шарів кісткової тканини щелепи людини

• кортикальної

• губчастої.

Рис. 1.1. Система „імплантат – протезна

конструкція – кісткова тканина”

Всі елементи тіла перебувають в ідеальному контакті.

Розглядається випадок коли, на протезну конструкцію діє навантаження заданої інтенсивності. Для моделювання умов закріплення частини “кісткова тканина – імплантат”, вважається, що зовнішня границя фрагмента – жорстко защемлена.

Матеріали імплантату та кістки вважаються ізотропними, тобто такими, що володіють по всіх напрямках однаковими пружними властивостями.

1.3 Математична постановка

Система „імплантат – кісткова тканина – протезна конструкція” моделюється, як кусково-однорідне ізотропне тіло. Будемо вважати, що напружено-деформований стан пружного тіла (системи „імплантат – кісткова тканина – протезна конструкція”) описується співвідношеннями лінійної теорії пружності.

Розглядаємо в декартовій системі координат просторове тіло, яке займає обмежену область з неперервною за Ліпшицем границею . – кусково-однорідне ізотропне тіло, тобто , де – кількість імплантатів (рис 1.2).

Рис 1.2. Схематичне зображення конструкції

– імплантати, – губчаста кісткова тканина, – кортикальна кісткова тканина, – протезна конструкція.

Матеріали областей є ізотропними і відрізняються своїми фізико-механічними властивостями: модулем Юнга та коефіцієнтом Пуасона .

В математичній моделі, що описує поставлену задачу, не враховується дія об’ємних (масових) сил.

Напружено-деформований стан тіла визначається з рівнянь рівноваги

, , (1.1)

де ;

Вектор визначає напруження тіла ;

Оскільки, тензор деформації

(1.2)

може бути представлений як вектор, враховуючи те, що він є симетричним, і відповідно має лише шість різних між собою складових.

-компоненти напруження в площині, перпендикулярній осі , - в площині, перпендикулярній осі , - в площині, перпендикулярній осі . Перший індекс в цих позначеннях характеризує орієнтацію площини, а другий – напрямок дії відповідної складової напруження. Нормальні напруження вважаються додатними, якщо вони напрямлені по зовнішній нормалі до площини. Додатні напрямки дотичних напружень на границі приймаються як ті, що співпадають з додатними напрямками відповідної осі. Якщо ж зовнішня нормаль напрямлена протилежно до відповідної осі, то і додатні дотичні напруження в цій границі діють у від’ємних напрямках до двох інших осей. Як відомо, має місце наступна властивість парності дотикаючих напружень

(1.3)

Крім того, на частині зовнішньої поверхні вектор переміщень задовольняє кінематичні (головні) крайові умови, тобто на частині задані переміщення. Оскільки наша конструкція закріплена на частині , то вектор переміщень рівний нулю

, , , ( ), (1.4′)

на частині – статичні (природні) крайові умови, тобто заданий зв’язок між поверхневими силами та напруженнями біля поверхні тіла

, , , ( ), (1.4″)

де – вектор заданих поверхневих зусиль;

- компоненти одиничного вектора нормалі до поверхні тіла, ;

, .

Вважаємо, що контакт між областями ідеальний. Це означає, що на поверхні спряження областей та виконуються умови ідеального механічного контакту

, (1.5′)

, (1.5″)

де , – компоненти вектора поверхневих зусиль, що діють на частині поверхні контакту областей та .

В областях мають місце геометричні співвідношення Коші, що встановлюють зв’язок між компонентами деформації і компонентами переміщення. Якщо деформація і переміщення малі, то між ними існує лінійна залежність, що виражається рівняннями

, , (1.6)

де вектор визначає деформації тіла .

Оскільки, тензор деформації

(1.7)

може бути представлений як вектор.

- відносні зміни довжин нескінчено малих відрізків, першопочатково (до деформації) паралельних осям , , відповідно; вони вважаються додатними, якщо відбуваються видовження відрізків, і від’ємними – у випадку їх скорочення. - суть деформації зсуву, які являють собою зміни кутів між елементарними відрізками, первинно паралельними тим координатним осям, які вказані в нижніх індексах. Деформації зсуву вважаються додатними, якщо кути між відрізками, орієнтованими в додатних напрямках координатних осей, стають гострими.

В матричній формі співвідношення Коші мають вигляд:

, (1.8)

де – матриця диференціальних операторів

(1.9)

Складові вектора деформації не є взаємонезалежними, а повинні задовольняти умові компабільності Сен-Венана.

Якщо з умови (1.8) виключити переміщення , то між компонентами деформації отримуємо шість диференціальних співвідношень, що називаються умовами сумісності (чи нерозривності) деформації Сен-Венана:

(1.10)

Вважаємо також, що в областях виконуються фізичні співвідношення узагальненого закону Гука, що встановлюють зв’язок між напруженнями і деформаціями. Згідно цього закону компоненти деформації є лінійними функціями компонент напруження. Для ізотропного тіла закон Гука в матричній формі має вигляд:

(1.11)

де - матриця пружних констант закону Гука, яка у випадках ізотропного однорідного матеріалу може бути представлена з допомогою коефіцієнтів Ламе і :

(1.12)

або відповідно коефіцієнтів Юнга - і Пуассона -

(1.13)

при відомих зв’язках між цими елементами:

, ; (1.14)

та відповідно:

, (1.15)

Матрична рівність закону Гука може бути представлена співвідношеннями :

;

; (1.16)

;

; ; .

де - модуль зсуву,

. (1.17)

Розв’язавши рівняння (1.16) відносно напружень, можна представити закон Гука у формі Ляме

, ,

, , (1.18)

, ,

де , .

Рівняння (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) повністю визначають крайову задачу статичної взаємодії однорідного кусково-ізотропного тіла за умов ідеального контакту.

Розв’язок цієї системи можна шукати або в переміщеннях, або в напруженнях, розглядаючи відповідну систему диференціальних рівнянь. Цим двом підходам відповідають і різні варіаційні принципи (принцип мінімуму потенціальної енергії Лагранжа та принцип мінімуму додаткової роботи Кастильяно відповідно). Можна також шукати розв’язок змішаної системи (відповідно існують мішані варіаційні принципи, а також гібридні та узагальнені варіаційні методи)

Для розв’язку задач теорії пружності в переміщеннях необхідно рівняння рівноваги для точок тіла ( ) представити в переміщеннях. З цією метою виражаємо напруження через деформації в формі Ляме (1.18), а деформації представимо через переміщення за співвідношеннями Коші (1.16).

Отримуємо

(1.19)

Це – рівняння Нав’є, лінійні диференціальні рівняння відносно компонент векторів переміщень . З допомогою пружних сталих Ляме вони приймають вигляд

(1.20)

і в такій формі називаються рівняннями Ляме.

До цих рівнянь необхідно долучити граничні умови. Якщо на поверхні тіла задані переміщення, то граничні умови зводяться до вимоги, щоб в точках поверхні шукані функції прийняли задані значення. Однак в нашому випадку геометричні умови задаються лише на частині поверхні , а на частині задаються поверхневі навантаження і задовольняються статичні граничні умови (1.14″). Їх потрібно також записати через переміщення, в результаті чого вони приймуть вигляд:

де .