Тема №3 Статические модели управления запасами (модели одноразовой закупки)

1. Что необходимо знать:

- понятие статической модели;

- 4 простейшие статические модели;

- обобщенную статическая модель.

2. Основы теории:

2.1. Статические модели управления запасами применяются ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

2.2. Простейшие модели статической задачи управления запасами:

Модель 1. Закупка в условиях короткого торгового сезона:

Допустим, что торговец должен закупать товары лишь для относительно короткого торгового сезона, в течение которого нельзя получить заказ (время доставки заказа превышает длительность торгового сезона). Торговец имеет оценку или прогноз ожидаемого спроса. Оценка спроса может быть представлена либо в виде кривой, либо в табличной форме. На рис. 3.1. оценка изображена в виде кривой, , где вероятность р(S) того, что спрос превысит S единиц, вычерчена как функция спроса f(S).

Рис. 3.1. Плотность распределе­ния спроса.

S — спрос; р(S) — вероятность того, что спрос превысит S.

В табл. 3.1. исходная информация о спросе представлена в табличной форме.

Как определить оптимальный размер закупки?

Допустим, что сбыт каждой единицы товара дает прибыль, равную G ден. ед., и что если товар не продан, то на каждой единице торговец теряет U ден. ед.. Допустим также, что издержки выполнения заказа и затраты на подготовительно-заключительные операции пренебрежимо малы. Тогда прибыль от S-й единицы товара будет определяться по формуле:

, (1)

где р(S) - вероятность того, что S-я единица товара будет продана, а 1- р(S) – наоборот, что S-я единица товара не будет продана.

Из формулы (1) вытекает и условие прибыльности S-й единицы товара:

(2)

Выражение (2) может быть преобразовано в вид:

(3)

Данный результат приводит к следующей политике: закупать такое максимальное количество товара (S), чтобы вероятность продажи этого или большего количества соответствовала условию 3.

Результаты расчетов приведены в табл. 3.1.

Табл. 3.1.

Спрос (S)	Вероят­ность продажи S-й единицы товара p(S)	Ожидаемая прибыль при продаже S-й единицы G∙p(S)	Ожидаемый убыток при непродаже S-й единицы U∙(1-p(S))	Чистая прибыль при про­даже S-й единицы товара
Случай 1. Убыток на единицу товара 4 у.е., Прибыль на единицу товара 3 у.е.
400	98	2,94	0,08	2,86
600	95	2,85	0,20	2,76
800	88	2,64	0,48	2,14
1000	76	2,28	0,96	1,32
1100	63	1,89	1,48	0,41
1145	57	1,72	1,72	0,00
1200	50	1,50	2,00	- 0,50
1400	24	0,72	3,04	- 2,32
1600	12	0,36	3,52	- 3,16
1800	5	0,15	3,80	- 3,65
2000	2	0,06	3,92	- 3,86
2200	0	0,00	4,00	- 4,00

Следовательно, при данной политике следует закупать не более 1145 единиц товара.

Модель 2. Закупка запасных частей при невозможности их реализации в случае неиспользования:

Эта задача, представляет исключительный инте­рес для промышленности и касается закупки запасных ча­стей или агрегатов для основного оборудования.

В каче­стве типичного примера рассмотрим покупку большого генератора. Определенное число запасных агрегатов может быть приобретено по относительно низкой цене вместе с генератором. Если же потребуется приобрести какой-либо агрегат в более позднее время, то не только его стоимость будет выше, но вследствие задержки в доставке генератор будет бездействовать, что приведет к большим производст­венным убыткам. В данном случае задача сводится к опре­делению числа запасных агрегатов, которое должно быть закуплено, чтобы минимизировать ожидаемые общие убытки.

Рассмотрим следующую задачу: в процессе строительства находится N судов определенного класса и что стоимость каждой еди­ницы запасного оборудования равна С у.е. Пусть Р_r — вероятность того, что в течение ожидаемого срока службы судна этого класса потребуется ровно r единиц запасного оборудования; Данные вероятно­сти приведены в табл. 3.2.

Табл. 3.2.

r	Pr	P (r≤y) накопл.
0	0,923	0,923
1	0,040	0,963
2	0,020	0,983
3	0,010	0,993
4	0,005	0,998
5	0,002	1,000
6	0,000	1,000

Ущерб, причиняемый вследствие отсутствия каждой единицы запасного оборудования, ра­вен U. Обычно этот ущерб очень велик. Он включает в себя стоимость дополнительного запасного оборудования и убытки вследствие простоя за время ожидания запасного оборудования. Для определения возможных убытков не­обходимо рассмотреть число использованных (r) и число за­купленных (y) единиц запасного оборудования.

Раз­мер убытка W_гу для случая, когда закуплено y, а требуется r единиц, зависит от того, какое из двух чисел (у или r) больше:

(4)

В задаче требуется найти минимальный ожидаемый, размер убыт­ка для случая, когда закупается у единиц запасного обо­рудования, которое и будет приобретено. Данная величина выражается через вероят­ности Р_г следующим образом:

(5)

Схема расчета по формуле (5) приведена в табл. 3.3.:

Табл. 3.3.

Закуплено единиц (y)	Формула для расчета ожидаемого убытка (математическое ожидание)	Значение расчетов для примера, где Pr взяты из табл.3.2.; С=100000 у.е., а U = 10000000 у.е.
0	W0=U∙(P1+2P2+3P3+4P4+5P5+6P6)	1400000
1	W1=C + U∙(P2+2P3+3P4+4P5+5P6)	730000
2	W2=2C + U∙(P3+2P4+3P5+4P6)	460000
3	W3=3C + U∙(P4+2P5+3P6)	390000
4	W4=4C + U∙(P5+2P6)	420000
5	W5=5C + U∙P6	500000
6	W6=6C	600000

Т.о. для нашего примера минимальный убыток принесет закупка 3-х единиц оборудования.

Зная накопленную вероятность P (r≤y), можно также определить число оборудования (y_i), приобретение которого принесет минимальные потери:

_ ____________________________

(6)

_____________________________

Модель 3. Закупка запасного оборудования, когда возможна его реализация в случае неиспользования:

При решении предыдущей задачи мы полагали, что не­использованное запасное оборудование реализовать нельзя. Хотя на практике такое положение возможно, все же во многих задачах, возникающих в торговой деятельности, реализационная стоимость запасного оборудования доста­точно велика и заслуживает дальнейшего рассмотрения. При розничной торговле эта стоимость может оговариваться в условиях сделки или устанавливаться на основании новой пониженной расценки. В промышленности за реализацион­ную стоимость неиспользованного запасного оборудования может приниматься стоимость металлического лома или стоимость продукции более низкого сорта, получаемой из высококачественных неиспользованных запасов.

Рассмот­рим пример, аналогичный приведенному выше, и будем учи­тывать реализационную стоимость запасного оборудования.

Допустим, что неиспользованное запасное оборудование может быть реализовано по цене, равной V у.е. за единицу.

Р аз­мер убытка W_гу будем рассчитывать, добавив параметр V в формулу (4):

(7)

Тогда общая формула для расчета ожидаемого убытка может быть рассчитана по формуле (8), аналогичной ф-ле 5 для предыдущей модели:

(8)

Схема и результаты расчетов для этой модели представлены в табл. 3.4.

Табл. 3.4.

Закуплено единиц (y)	Формула для расчета ожидаемого убытка (математическое ожидание)	Значение расчетов для примера, где Pr взяты из табл.3.2.; С=100000 у.е., а U = 10000000 у.е.; V = 50000 у.е.
0	W0=U∙(P1+2P2+3P3+4P4+5P5+6P6)	1400000
1	W1=C - V∙P0+ U∙(P2+2P3+3P4+4P5+5P6)	683000
2	W2=2C - V∙(2P0+P1)+ U∙(P3+2P4+3P5+4P6)	365700
3	W3=3C - V∙(3P0+2P1+ P2)+ U∙(P4+2P5+3P6)	251050
4	W4=4C - V∙(4P0+3P1+ 2P2+P3)+ U∙(P5+2P6)	227900
5	W5=5C - V∙(5P0+4P1+ 3P2+2P3+P4)+ U∙P6	257000
6	W6=6C - V∙(6P0+5P1+ 4P2+3P3+2P4+ P5)	и т.д.

Т.о. для нашего примера минимальный убыток принесет закупка 4-х единиц оборудования.

Зная накопленную вероятность P (r≤y), можно также определить число оборудования (y_i), приобретение которого принесет минимальные потери:

_ _________________________________

(9)

__________________________________

Модель 4. Непрерывное распределение спроса:

В случае непрерывного спроса дискретные вероятности p(r) или p(s) (см. предыдущие модели) заменяются функцией распределения:

, (10)

где p(n)dn – вероятность того, что потребность (спрос) в товаре (запчасти, оборудование, потребительская продукция) будет заключена в интервале между n и n+dn.

Для иллюстрации этой модели рассмотрим следующий пример:

Владелец булочной должен ежедневно подавать заказ на поставку хлеба. Каждая проданная буханка приносит прибыль в размере G у.е., а отсутствие хлеба приводит к убытку, равному U у.е. на каждую недостающую буханку. Каждая непроданная буханка может позднее быть реализована уже по цене V у.е. Т.о. убытки вследствие излишних закупок составят C-V у.е. из расчета на одну буханку. Если спрос на хлеб за день выразить с помощью плотности распределения f(n), то f(n)dn – вероятность того, что спрос на хлеб будет заключен в интервале между n и n+dn. Плотность распределения задана функцией:

a-bn, 0 ≤ n ≤ 200,

f(n) = (11)

0, n >200

где a = 0,01

b = 5∙10^-5

В задаче требуется найти такой объем произведенного хлеба, при котором чистая прибыль от продажи будет максимальна.

Решение:

Общая (чистая) ожидаемая прибыль g(y) при закупке y буханок состоит из трех слагаемых:

1. ожидаемая прибыль от продажи хлеба:

(12)

2. ожидаемые убытки вследствие нехватки хлеба:

, (13)

где N – максимальное число буханок, которое может быть продано.

3. результат от реализации нераспроданных буханок по более низкой цене в следующем периоде времени:

(14)

Таким образом, ожидаемую прибыль от реализации y буханок можно записать следующим образом:

(15)

Если преобразовать формулу (15): вынести общие множители и значения распределения спроса (11) вместо f(n), то получится выражение:

(16)

Чтобы найти значение y, максимизирующее функцию g(y), возьмем производную от функции (16) по y и приравняем ее к нулю:

(17)

Решение:

Табл. 3.5

Дано:		Решение:
Показатель:	Значение:	Показатель:	Значение и комментарий:
a	0,01	y1 – число буханок	152
b	5∙10-5
N	200	y2	292 (не подходит, т.к. превосходит N)
C	0,2 у.е.
G	0,1 у.е.
U	1,00 у.е.
V	0,1 у.е.

Ответ: максимальная прибыль будет достигнута при закупке 152 буханок.

Модель 5. Обобщенная статическая модель:

Допустим, что плотность распределения спроса - не­прерывная положительная функция. Предположим также, что практически всегда время доставки заказа пренебрежимо мало. Положим, что для статического случая издержки хранения запасов являются функцией размера наличного запаса в конце периода и равны нулю, если запаса не остается либо издержки хранения пропорциональны размеру начального запаса или среднему уровню запасов за период.

Примем следующие обозначения:

р(s)ds - вероятность того, что спрос за период находится в интервале (s, s +ds);

q - размер заказа;

h - размер наличного запаса;

q+h= х - общий запас после получения заказа;

С_с∙(х - s) - издержки хранения (когда поставки превосходят спрос);

С_υ∙(х - s) - выручка от реализации оставшихся запасов (когда поставки превосходят спрос);

b ∙ (s - х) – издержки вследствие дефицита (когда спрос превосходит поставки);

С_u - стоимость единицы товара к моменту доставки его на склад (включая издержки выполнения заказа);

z - реализационная цена единицы товара.

Пусть теперь начальный размер запаса равен h, зака­зывается q единиц товара (общий размер запаса становится равным х = q + h) и спрос составляет s единиц. Тогда общий убыток определится по формуле:

(18)

Поскольку спрос является случайной величиной, то и ожидаемый убыток также будет случайной величиной:

(19)

(20)

Чтобы найти оптимальный размер заказа, необходимо иметь «правило» выбора значения q = x - h, минимизирую­щего E[W_h(x)]. Для получения данного правила находим значение х, минимизирующее функцию g (х). При опреде­ленных условиях функция g(х) имеет единственный мини­мум в точке x₀ (как в рассмотренных ранее статических задачах управления запасами), и правило определения опти­мального размера заказа принимает простейший вид: если х<x₀, то размер заказа должен увеличивать запасы до x₀; если х ≥ х₀, то заказ не подается.

Функция g(х) имеет единственный минимум, если вы­полняются следующие условия:

1)______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________;

2)____________________________________________________;

3)________________________________________________________________________________________________________________;

4)общее:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________­___________________________________________________________.