5/8. Выводы по сравнительному анализу методов.

Очевидно, что, наименее точные результаты дает метод S-квадрат. К достоинствами этого метода можно отнести небольшое количество итераций и простоту программной реализации. Метод Хука-Дживса требует более сложной логической структуры, однако является наиболее точным.

6/8. Задача № 1

Н а рисунке 5 представлен бункер для хранения сыпучего материала без крышки, имеющий вид усеченного конуса, для которого необходимо решить задачу минимизации его стоимости.

Рис. 5.

Усеченной конус, форму которого имеет бункер, можно считать полностью описанным в случае, если известна полная площадь поверхности и его объем. Поэтому, вычислим:

1. Площадь основания: S_осн =π∙r²;

2. Площадь боковой поверхности бункера: S_бок = π∙L∙ (R+r);

3. Полная площадь: S_пол= S_осн +S_бок= π(r²+ L∙ (R+r));

4. Объем бункера: V = ⅓∙π∙h∙(r²+r∙R+R²),

где R- радиус большего основания, r – радиус меньшего основания, при этом R и r будем считать известными, т.к. известны D и d, однозначно их определяющие.

Опираясь на рисунок 5, можно выявить следующие зависимости:

1. По теореме Пифагора: L² = h² + (R-r)²

2. L∙cos(φ) = R-r.

Таким образом, геометрическую форму бункера можно описать, используя различные наборы конструктивных параметров, например: (R, r, h); (L, h, r); (φ, h, r); (φ, h,R).

Теперь найдем аналитически бункер минимальной стоимости.

Известно, что стоимость материала основания 2 $/м², а для боковой поверхности - 5 $/м².

Запишем целевую функцию в следующем виде: f(R,h,φ). Для этого предварительно вычислим: вставка 2, тогда

f(R,h,φ) = 2S _осн + 5S_бок = 2π(R-hctg(φ))² + 5πh(2R - hctg(φ))/sin(φ).

Воспользуемся условием, определяющим объём бункера.

Вставка 3 (заодно проверь, не облажалась ли я при вычислениях)

В конце еще раз выписать чему равен котангенс фи(выделено маркером)

Т аким образом, была получена функция двух переменных:

, где

На рисунке 6 представлены линии уровня данной функции.

Рис. 6. Линии уровня функции f(r,h) в области минимума.

Для более точного определения точки минимума укрупним область наименьших значений: рисунок 7.

Рис. 7.

Учитывая, что шаг по горизонтальной оси составляет 0.035, а по вертикальной – 0.05, то за точку минимума примем (12*0.035; 40*0.05) = (0.42; 2).

Т.к. площадь внутри линии минимального уровня позволяет параметрам изменяться лишь незначительно, то с некоторой погрешностью решение можно признать однозначным. Таким образом, радиус верхнего основания 0,42 м и высоту бункера 2 метра можно считать квазиоптимальными значениями параметров при минимизации стоимости бункера объемом 10 м³.

7/8. Задача №2 (о наилучшем приближении экспериментальных данных методом наименьших квадратов).

Исходные данные: x = 1.0 2.0 3.0 4.0

y = 1.05 1.25 1.55 1.59

Модельная двухпараметрическая кривая: y_m = k₁x/(1+k₂x)

Минимизируемым параметром для МНК является сумма разностей между полученным и истинным значением. В данном случае сумма будет состоять из четырех слагаемых:

Найдем первые частные производные функции параметра по коэффициентам k₁, k₂:

Приравняем их к нулю согласно необходимому условию экстремума и получим значения k₁ = 2.4409, k₂ = 1.3071. На рисунке 8 представлены опытные точки и аппроксимирующая кривая.

Рис.8 – Результаты аналитического решения.