18 Үлестірім тығыздығ

Егер Х-үздіксіз кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы F(x) болса, онда

тендігін аламыз.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздағы f(x) деп үлестірім F(x) функциясының туындысын айтады.

яғни үлестірім тығыздығы үлестірім функциясының туындысына тең

Үлестірім тығыздығының мынандай қасиеттері бар:

1) үлестірім тығыздығы теріс емес функция, себебі ол кемімейтін F(x) функциясының туындысына тең

2) үлестірім функциясы үлестірім тығыздығы арқылы былай өрнектеледі

шындығында болғандықтан

Үлестірім функциясы F(x) үлестірім тығыздығы функциясы f(x)-тің сүлбесінде штрихталған аудан арқылы өрнектеледі.

F (x)

F(x) f(x)

0 x

Үлестірім тығыздығын кездейсоқ шаманың дифференциалдық функциясы деп те атайды

Себебі,

1. Кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса онда

Шынында,

2. Үлестірім тығыздығы үшін

яғни OX өсімен және үлестірім тығыздығы y=f(x) қисығымен шектелген фигураның ауданы бірге тең болады.

Мысал. Кездейсоқ Х шамасының үлестірім тығыздығы

берілген

1. белгісіз а коэффициенттік табу керек

2. үлестірім тығыздығының сүлбесін сызу керек

3. кездейсоқ Х шамасының аралығына түсу ықтималдығын анықтау керек.

Шешу: 1) теңдеуінен

Осыдан

2. функциясының сүлбесін саламыз

f(x)

1

x

0

3. аралығына түсу ықтималдығын табамыз.

Үздіксіз кездейсоқ шамалардың математикалық үміті мен дисперсиясы.

Егер аралығынан мән қабылдайтын Х үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда бұл кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп

абсолютті жинақты меншіксіз интегралын айтады.

Ал Х кездейсоқ шамасы интервал мәндерін ғана қабылдайтын болса математикалық үміт

интегралымен айықтылады.

Үздіксіз Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы анықтама бойынша

формуласымен анықталатын болғандықтан, мәндері үшін

Меншіксіз интегралы арқылы есептеледі. Орташа квадраттың ауытқуы

формуласымен табылады.

Ал Х кездейсоқ шамалы (a,b) интервал мәндерін қабылдаса дисперсия

интегралымен есептеледі.

Көп жағдайда дисперсия мына формула арқылы анықталады:

19 Бірқалыпты үлестірім заңы

Анықтама. Егер Х үздіксіз кездейсоқ шамасы интервал мәндерін қабылдап және оның үлестірім тығыздығы

тендігі арқылы анықталса, онда Х кездейсоқ шамасы бірқалыпты үлестірім заңымен берілген деп атайды.

f(x)

A B

0 а b x

1-сүлбе

Үлестірім тығыздығы және ОХ өсімен шектелген фигураның ауданы бірге тең болатыны белгілі.

Енді үлестірім функциясын анықтайық:

болғанда F(x)=0, ал болғанда F(x)=1.

Сонымен үлестірім функциясы келесі тендікпен анықталады:

F(x)

F(x)=1

1

0 а b x

2-сүлбе

Математикалық үмітті табайық:

Сонымен, аралығында бірқалыпты орналасқан кездейсоқ шаманың математикалық үміті осы аралықтың дәл ортасына тең.

Дисперсияны анықтайық:

Егер орындалса, онда бірқалыпты үлестірім заңына бағынатын Х кездейсоқ шамасының интервалдағы мәндерді қабылдау ықтималдығы

теңдігімен анықталып, түзулерімен шектелген төртбұрыштың ауданын береді.

(1-сүлбедегі штрихталған аудан)